ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI NĂM 2011 Bài 1: Cho 3 số thực $x, y, z \ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$$ Bài 2: Cho tứ diện $ABCD$ và $I$ là một điểm nằm trong tứ diện đó. Các đường thẳng $AI, BI, CI, DI$ cắt các mặt đối diện của tứ diện tại $A', B', C', D'$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{IA}{AA'} + \dfrac{IB}{BB'} + \dfrac{IC}{CC'} + \dfrac{ID}{DD'} = 3$$ Bài 3: Cho hai số thực $a$ và $b$. Xét dãy số $(x_n)$: $\begin{cases}x_0 = a\\x_{n + 1} = 1 + b.x_n; \forall n \in \mathbb{N}\end{cases}$. Tìm điều kiện của $a, b$ để $(x_n)$ có giới hạn tìm $\lim x_n$. Bài 4: Tìm tất cả các số chính phương $S$ có tính chất: $S$ có thể biểu diễn dưới dạng: $S = 2^8 + 2^{11} + 2^m$ với $m$ là số nguyên dương nào đó. Bài 5. Giải phương trình $$4x - x^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{1 + \sqrt{x^4 - 8x^3 + 16x^2 + 1}}$$ Bài 6: Cho tập hợp $S = \{1;2;3;...;2011\}$. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tập hợp $S$ có tính chất sau: nếu ta xóa $n$ số trong tập hợp $S$ thì trong các số còn lại của $S$, không có số nào là tích của $2$ số khác.
