Đề thi chọn HSG lớp 10 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2011

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 1. (4 điểm)
    1. Tìm $m$ để phương trình $x^3-(m+5)x^2+(6m+2)x-8m+8=0$ có $3$ nghiệm phân biệt lớn hơn $1$.
    2. Giải phương trình: $x^2+14x+16=8\sqrt{x^3+1}$

    Câu 2. (4 điểm)
    1. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}6x^2-y-xy^2=0 & \\ 5x^2-x^2y^2-1=0 & \end{matrix}\right.$
    2. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $\sqrt{1+x-x^2}=mx-m+1$ có $2$ nghiệm phân biệt.

    Câu 3. (4 điểm)
    1. Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $AB,BC,CA$ lấy lần lượt các điểm $M,N,P$ thỏa mãn $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {3BC} + \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CP} = 2\overrightarrow {CA}$. Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có cùng trọng tâm.
    2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng minh độ dài đường phân giác trong của góc $A$ là $l_a = \dfrac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}$ và $R \ge \left( {\sqrt 2 + 1} \right)r$, với $BC=a,CA=b,AB=c, R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác $ABC$.

    Câu 4. (4 điểm)
    1. Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(4;2), B(3;-1)$ và trọng tâm $G$ thuộc đường thẳng $(d) x-2y+3=0$. Biết diện tích tam giác $ABC$ bằng 9.Tìm tọa độ của đỉnh $C$.
    2. Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(1;1),B(2;-1).C(1;-2)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O$ và có tổng các khoảng cách từ các điểm $A,B,C$ đến $d$ là lớn nhất.

    Câu 5. (4 điểm)
    1. Cho $a,b,c$ là ba số thực dương. Chứng minh: $$\dfrac{{a^2 }}{{b^2 c}} + \dfrac{{b^2 }}{{c^2 a}} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 b}} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$$
    2. Cho tam giác $ABC$ vuông có $AB=AC=1$. Hai điểm $M, N$ lần lượt di động trên hai cạnh $BC,CA$ sao cho $AM$ vuông góc với $BN$. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $CMN$.