ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 TP. ĐÀ NẴNG NĂM 2011 Câu 1 (2,0 điểm) 1) Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Chứng minh rằng biệt thức $\Delta$ của phương trình không thể bằng $23$. 2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}$ Câu 2 (2,0 điểm) 1) Cho phương trình $\sqrt{x-2}+\sqrt{5-x}-\sqrt{(x-2)(5-x)}=m$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm. 2) Cho hai phương trình bậc hai: $x^2+3x+m-1=0$ và $x^2+x^2-m+1=0$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt va nghiệm của hai phương trình đó xen kẽ nhau. Câu 3 (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: $3x^2-3x+3=(3x-1)\sqrt{x^2-x+3}$. 2) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + y\left( {y - 2x - 1} \right) = 4 \\ {y^2} + y - x = 4 \\ \end{array} \right.$ Câu 4 (3,0 điểm) 1) Cho tam giác đều $ABC$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm M thỏa điều kiện $BM=2MC$. Xác định điểm $K$ thuộc đường thẳng $AC$ sao cho hai đường thẳng $BK$ và $AM$ vuông góc với nhau. 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình thoi $ABCD$ có góc $\widehat{BAD}$ nhọn. Biết đường thẳng $BD$ qua điểm $M(1;3)$, đường thẳng $AB$ có phương trình $2x+y+1=0$ và đường thẳng $AD$ có phương trình $x+2y+8=0$. Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi $ABCD$. Câu 5 (1,0 điểm) Cho $x,y$ là các số thực thỏa $x+y+2=2(\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2})$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$Q=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y+3}$$
