ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2011 Câu 1. (7,0 điểm) a. Giải phương trình: $2{\log _3}(\cot x) = {\log _2}(\cos x)$ b. Giải phương trình: $x^2+\sqrt[3]{\left(16-x^3\right)^2} = 8$ Câu 2. (4,0 điểm) Chứng minh rằng các trung tuyến $AA_1, BB_1$ của tam giác $ABC$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi: $\cot{C}=2(\cot{A}+\cot{B})$. Câu 3. (3,0 điểm) Cho 4 số $a,b, c, d$ thỏa $1\leq a,b,c,d \leq 2$. Chứng minh rằng: $\dfrac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{(ac+bd)^2}\leq \dfrac{25}{16}$. Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy $AB=a$, cạnh bên $SA=b$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SC$. Một mặt phẳng $(\alpha)$ thay đổi quay xung quanh $MN$ cắt cạnh $SA, BC$ theo thứ tự tại $P $ và $Q$ không trùng với $S$. a. Chứng minh rằng: $\dfrac{PA}{QB}=\dfrac{a}{b}$. b. Xác định tỉ số $\dfrac{PA}{SA}$ sao cho diện tích $MPNQ$ là nhỏ nhất.
