Đề thi chọn HSG lớp 12 chuyên KHTN năm 2011

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪


    VÒNG 1

    Câu 1
    . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại duy nhất một số nguyên dương $a<5^n$ thỏa mãn $5^n|a^3-a+1$

    Câu 2. Cho $k$ là số thực dương cố định và $a,b,c$ là các số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của
    $$P= \dfrac{a+b+c}{ (a^k+b^k+c^k)^{\dfrac{1}{k}}}+\dfrac{(a^k+b^k+c^k)^{\dfrac{3}{k}}}{abc}$$

    Câu 3. Cho tam giác $ABC$.$M$ di chuyển trên đoạn $BC$, $B' \in AC,C'\in AB$ sao cho $AC'MB'$ là hình bình hành.Gọi $N_b,N_c$ là tâm Euler của $MBC'$ và $MCB'$. $T$ là trung điểm $N_bN_c$. Chứng minh rằng $MT$ đi qua điểm cố định.

    Câu 4. Cho dãy số dương $a_n$ thỏa mãn
    $$a_1=1,a_2=\dfrac{2}{3},a_{n+2}<\dfrac{1}{4}a_{n+1}^2+\dfrac{3}{4}a_n$$

    VÒNG 2

    Câu 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau $x^4+1=2y^2$

    Câu 2. Với $a,b,c$ là các số nguyên dương có tổng bằng $1$, chứng minh rằng :
    $\dfrac{13}{4}.(ab+bc+ca)\leq 1+4abc.\sum\dfrac{a}{(a+1)^2}$

    Câu 3. Cho tam giác $ABC$ không cân. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $AD$ giao $EF$ tại $J. M,N$ di chuyển trên $(I)$ sao cho $M,J,N$ thẳng hàng và $M$ nằm về phía nửa mặt phẳng bờ $AD$ có $C,N$ nằm về phía nửa mp bờ $AD$ chứa $B$. Giả sử $DM,DN$ cắt $AC,AB$ tại $P,Q$.
    a) Giả sử $MN$ cắt $PQ$ tại $T$.Chứng minh $T$ nằm trên đường thẳng d cố định
    b) Tiếp tuyến tại $M,N$ của $I$ cắt nhau tại $S$.Chứng minh $S\in d$
    c) $SJ$ giao $BC$ tại $K$.Chứng minh $IK \perp TD$

    Câu 4. Cho một đa giác lồi $2012$ cạnh. Hỏi ta có thể chia đa giác này thành các tam giác bằng cách vẽ các đường chéo của nó sao cho không có 2 đường chéo nào cắt nhau ở bên trong đa giác và tại mỗi đỉnh của đa giác ban đầu đều có một số chẵn các đường chéo được vẽ xuất phát từ đỉnh đó? Câu hỏi như trên khi thay $2012$ bởi $2013$