ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH BẮC NINH Bài 1. (5,0 điểm) Cho hàm số $y = 4 - \frac{6}{x}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Tìm $m$ để đường thẳng $d:y = 3x + m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho góc $\widehat {AOB}$ nhọn ($O$ là gốc tọa độ). Bài 2. (6,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x^3} + 2x - y - 1} \right) = {x^2}\left( {y + 1} \right) \\ \sqrt {x + 2} + \sqrt {y + 1} = 4 \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ 2. Giải phương trình: $\left| {{3^x} + 2x - 2x{{.3}^x}} \right| = 1\,\,\,\,\left( {x \in \mathbb{R}} \right)$ Bài 3. (2,0 điểm) Cho ba số thực dương $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC$. Gọi $x,y,z$ là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện: $cy + bz = a;az + cx = b;bx + ay = c$. Chứng minh rằng: $$x + y + z \leqslant \frac{3}{2}$$ Bài 4. (3,0 điểm) Cho tứ diện $ABCD$ có $AB.AC.AD=54324$ và $O$ là một điểm thay đổi nằm trong tam giác $BCD$. Các đường thẳng qua $O$ song song với $AB,AC,AD$ lần lượt cắt các mặt $\left( {ACD} \right),\left( {ABD} \right),\left( {ABC} \right)$ tại $B',C',D'$. Chứng minh rằng: $$OB'.OC'.OD' \leqslant 2012$$ Bài 5. (3,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;4;2} \right),B\left( { - 1;2;4} \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{2}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho tổng $MA+MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6. (1,0 điểm) Từ 2012 số nguyên dương đầu tiên lấy ra 6 số xếp thành dãy số có dạng ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}$. Hỏi có bao nhiêu dãy số có dạng trên biết ${u_1},{u_2},{u_3}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
