ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2011 VÒNG 1 Câu 1: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a > b > c > 0$. Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất: $$\sqrt {x - a} - \sqrt {x - b} + \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {x - c} }} = 0$$ Câu 2: Tính các góc của tam giác nhọn ABC,biết: $$\dfrac{1}{3}\left( {\cos 3A + \cos 3B} \right) + \cos A + \cos B + \cos C = \dfrac{5}{6}$$ Câu 3: Dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ với $n = 1,2,3,...$ bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện: $${x_{n + 2}} \ge \dfrac{1}{4}{x_{n + 1}} + \dfrac{3}{4}{x_n}\,,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...$$ Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn. Câu 4: Các đỉnh $A, B, C$ của tam giác nhọn $ABC$ lần lượt nằm trên các cạnh ${B_1}{C_1},\,{C_1}{A_1},\,{A_1}{B_1}$ của tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}$ sao cho: $\widehat {ABC} = \widehat {{A_1}{B_1}{C_1}},\,\,\,\widehat {BCA} = \widehat {{B_1}{C_1}{A_1}},\,\,\widehat {BAC} = \widehat {{B_1}{A_1}{C_1}}$. Gọi $H$ và ${H_1}$ theo thứ tự là trực tâm tam giác $ABC$ và ${A_1}{B_1}{C_1}$. CMR $H$ và ${H_1}$ cách đều tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Câu 5: Hãy xác định tất cả các hàm số $f:{N^*} \to {N^*}$ sao cho: $$f\left( n \right) + f\left( {n + 1} \right) = f\left( {n + 2} \right)f\left( {n + 3} \right) - 22,\,\,\,\forall n \in {N^*}$$ VÒNG 2 Câu 1: Tìm $m$ để hệ: $$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 2m + 1\\ \left( {x + y} \right){2^y} + {2^{x + y + 1}} = {2^{2m}} + \left( {2m - 1} \right){2^y} \end{array} \right.$$ có nghiệm sao cho tích $xy$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Câu 2: Chứng minh rằng: $$\left( {1 + abc} \right)\left[ {\dfrac{1}{{a\left( {1 + b} \right)}} + \dfrac{1}{{b\left( {1 + c} \right)}} + \dfrac{1}{{c\left( {1 + a} \right)}}} \right] \ge \dfrac{{\left( {{a^5} + {b^5} + {c^5}} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}}{{{a^8} + {b^8} + {c^8}}}$$ Câu 3: Tìm tất cả các đa thức $P\left( x \right)$ có hệ số thực thỏa mãn: $$\left\{ \begin{array}{l} P\left( 2 \right) = 12\\ P\left( {{x^2}} \right) = {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)P\left( x \right) \end{array} \right.\,\,\,\,\,\forall x \in R$$ Câu 4: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho ${a^3} + {b^3} + {c^3}$ chia hết cho ${a^2}b,\,{b^2}c,\,{c^2}a$. Câu 5: Cho tập hợp $P$ gồm $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng $\left( {n \ge 3} \right)$, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi cặp điểm thuộc $P$ được nối bởi một đoạn thẳng tô màu đỏ hoặc tô màu xanh. Tìm số nhỏ nhất các đoạn thẳng tô màu đỏ sao cho bất kì tam giác nào với 3 đỉnh thuộc $P$ đều có ít nhất một cạnh màu đỏ.
