ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH NGHỆ AN NĂM 2011 Bài 1(3,0 điểm) Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}{ x^2+y^2+\dfrac{8xy}{x+y}=16}\\{\dfrac{x^2}{8y}+\dfrac{2x}{3}=\sqrt{\dfrac{x^3}{3y}+\dfrac{x^2}{4}}-\dfrac{y}{2}}\end{cases}$$ Bài 2(4,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn: $$x^{2010}+x^{2009}+...+x+2=y^{5}$$. Bài 3.(4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Phân giác ngoài của góc BHC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi K là giao điểm của phân giác góc A của tam giác ABC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE (K khác A). Chứng minh rằng hai tam giác BHK và CHK có diện tích bằng nhau. Bài 4. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:R_{+}^{*}\rightarrow R_{+}^{*}$ thoả mãn: $$ f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$$ với mọi $x, y\in R_{+}^{*}$. Bài 5 (5, 0 điểm) Cho số nguyên tố $p>3$ và $M = \{1; 2; ...; p \}$. Với mỗi số nguyên k thỏa mãn $1\leq k\leq p$ ta đặt ${E}_{k}= \{ A \subset M:|A|=k \}$ và $x_{k}=\sum (min A + maxA)$ với $A\in E_{k}.$ Chứng minh rằng: $\left( x_{1}C_{1}^{p}+ x_{2}C_{2}^{p}+... x_{p-1}C_{p-1}^{p}\right)\equiv \pmod{p^3} $.Trong đó |A| là số phần tử của tập hợp A. Câu 6 (6 điểm) Giải phương trình sau: $$2(x-2)(\sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5})=3x-1$$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ Giải bất phương trình $$x^3-3x^2+2\sqrt{(x+2)^3}-6x\ge 0$$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ Câu 7 (3 điểm) Tìm tất cả các giá trị tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm $$\begin{cases}x^3-12x-y^3+6y^2-15=0\\4x^2+2\sqrt{4-x^2}-5\sqrt{4y-y^2}+m=0\end{cases}$$ Câu 8 (2,5 điểm) Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$ và $x,y,z>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac{x-1}{y^2}+\dfrac{y-1}{z^2}+\dfrac{z-1}{x^2}$$ Câu 9 (6 điểm) Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD, AC=BD,AD=BC$. Chứng minh rằng khoảng cách từ trọng tâm của tứ diện $ABCD$ đến các mặt phẳng $(ABC), (BCD), (CDA), (DAB)$ bằng nhau. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là $ABCD$ là hình thoi cạnh $2a; SA=SB=SC=2a$. Gọi $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$. Chứng minh $$V\le 2a^3$$ Câu 10 (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $©$: $$(x-1)^2+(y-1)^2=25$$ và các điểm $A(7;9); B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $©$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
