ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH THÁI BÌNH NĂM 2011 Bài 1: Cho $a,b,c> 0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{(3a-1)^2}{2a^2+1}+\dfrac{(3b-1)^2}{2b^2+1}+\dfrac{(3c-1)^2}{2c^2+1}\ge 4$$ Bài 2: Tìm tất cả các hàm $f$ từ $[0,1]$ vào $R$ thỏa mãn với mọi $x\in [0,1]$ ta đều có: $f(x)\ge 2xf(x^2)$ Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên tố $p>2$ thỏa mãn tồ tại các số nguyên dương $x,y$ sao cho $$x^p+y^p=p[(p-1)!]^p$$ Bài 4: Cho 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc trong tại $K$, $(O')$ nằm trong $(O)$. Gọi $A$ là điểm thuộc $(O)$ sao cho $A,O,O'$ không thẳng hàng. Vẽ các tiếp tuyến $AD,AE$ tới $(O')$ ($D,E$ là tiếp điểm), chúng cắt $(O)$ lần lượt tại $B$ và $C$. Giả sử $AO'$ cắt $(O)$ tại $F$. Chứng minh rằng $KF,BC$ và $DE$ đồng quy. Bài 5: Trên mặt phẳng cho $n$ điểm $A_1,A_2,...,A_n$. Tìm tất cả các giá trị của $n$ sao cho tồn tại bộ số thực $(r_1,r_2,...,r_n)$ thỏa mãn 2 tính chất sau: i, Không có 3 điểm nào thẳng hàng trong số $n$ điểm trên. ii, Với mỗi bộ $(i,j,k)$ bất kì trong đó $1\le i<j<k\le n$ thì tam giác $A_iA_jA_k$ có diện tích là $r_i+r_j+r_k.$ Câu 6: 1) Cho hàm số $y=x^3-3mx+1 (Cm)$. Tìm các giá trị của m để: a) (CM) cắt $Ox$ tại 3 điểm phân biệt b) (CM) có $2$ điểm cực trị $A,B$ và $\in (-4;-1)$ tạo 1 tam giác có $S=10$ 2) Tìm $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2011x^2-cosx}{sin^2x}$ Câu 7: 1) Cho $\left\{\begin{array}{1} & x,y>0 & \\ & x+y+xy=8 & \end{array}\right.$ Tìm min, max: $P=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}}{xy+1}$ 2) Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{1} & x^3+\sqrt{x^2+2y+1}=x^2y+y+1 & \\ & (x+y-1)\sqrt{y+1}=10 & \end{array}\right.$$ Câu 8: 1) Trong $Oxy$ cho ©: $(x-6)^2+(y-1)^2=36$ Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $M(1;0)$ cắt © tại 2 điểm $A,B$ sao cho $AB=6AM$ 2) Cho hình chóp $S.ABC$ a) $\Delta ABC$ vuông tại A; $AB=3a; AC=4a; SA=2a$ Góc $SCA = 30^0$; $(SAC)\perp (ABC)$. Tính $V_{SABC}; d_{(G;SBC)}$ (G là trọng tâm $\Delta ABC$) b) $A'$ là trọng tâm $\Delta ABC$; (P) đi qua $A'$ và cắt $SB, SC$ tại $M, N$. CMR: $\dfrac{4}{9}\leq \dfrac{V_{SAMN}}{V_{SABC}}\leq \dfrac{1}{2}$ Câu 9: Giải phương trình $$\dfrac{2sin^3(\dfrac{\pi}{3}-x)-sin(2x-\dfrac{\pi}{6})+sin(x+\dfrac{\pi}{6})}{\sqrt{2}(sinx+cosx)-1}=0$$ Câu 10: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=9$ CMR: $log_3(a^3+18)+log_3(b^3+18)+log_3(c^3+18)\geq 9$ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH THÁI BÌNH NĂM 2011 Bài 1 (7điểm) 1, Giải phương trình: $7x^2-13x+8=2x^2\sqrt[3]{x(1+3x-3x^2)}$ 2, Cho $x,y,z\ge 0, x+y+z=1$. Chứng minh: $\dfrac{z-xy}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{y-zx}{x^2+xz+z^2}+\dfrac{x-yz}{y^2+yz+z^2}\ge 2$ Bài 2 (5điểm) Cho dãy $(a_n)_{n\ge 1}$ thỏa mãn: $ a_1=a_2=1, a_{n+1}=7a_n-a_{n-1}$ Chứng minh với mọi $n$ nguyên dương thì $a_n+a_{n+1}+2$ là số chính phương. Bài 3 (5điểm) Cho đường tròn $(O)$ cố định và dây $AB$ cố định khác đường kính. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. P là điểm di động trên cung lớn $AB$ của $(O)$. Các điểm $M,N$ trên tia $PA,PB$ thỏa mãn $\angle PMI=\angle PNI=\angle APB$. $a,$ Chứng minh đường cao từ $P$ của tam giác $PMN$ đi qua một điểm cố định. $b,$ Chứng minh đường thẳng Euler của tam giác $PMN$ đi qua một điểm cố định. Bài 4 (3điểm) Cho tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên. Giả sử $A_1,A_2,...,A_k$ là $k$ tập con của $S$ thỏa mãn đông thời 2 điều kiện: $i,$ mỗi tập gồm ít nhất $\dfrac{n}{2}$ phần tử. $ii,$ giao của 2 tập bất kì có không quá $\dfrac{n}{4}$ phần tử. Chứng minh hợp của k tập trên gồm ít nhất $\dfrac{k}{k+1}n$ phần tử. Bài 5: Cho $a,b,c> 0$ và$abc=1[$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{(3a-1)^2}{2a^2+1}+\dfrac{(3b-1)^2}{2b^2+1}+\dfrac{(3c-1)^2}{2c^2+1}\ge 4[$$ Bài 6: Tìm tất cả các hàm $f$ từ $[0,1]$ vào $R$ thỏa mãn với mọi $x\in [0,1]$ ta đều có: $f(x)\ge 2xf(x^2)$ Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên tố $p>2$ thỏa mãn tồ tại các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^p+y^p=p[(p-1)!]^p$ Bài 8: Cho 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc trong tại $K$, $(O')$ nằm trong $(O)$. Gọi $A$ là điểm thuộc $(O)$ sao cho $A,O,O'$ không thẳng hàng. Vẽ các tiếp tuyến $AD,AE$ tới $(O')$ ($D,E$ là tiếp điểm), chúng cắt $(O)[$ lần lượt tại $B$ và $C$. Giả sử $AO'$ cắt $(O)$ tại $F$. Chứng minh rằng $KF,BC$ và $DE$ đồng quy. Bài 9: Trên mặt phẳng cho $n$ điểm $A_1,A_2,...,A_n$. Tìm tất cả các giá trị của $n$ sao cho tồn tại bộ số thực $(r_1,r_2,...,r_n)$ thỏa mãn 2 tính chất sau: i, Không có 3 điểm nào thẳng hàng trong số $n$ điểm trên. ii, Với mỗi bộ $(i,j,k)$ bất kì trong đó $1\le i<j<k\le n$ thì tam giác $A_iA_jA_k$ có diện tích là $r_i+r_j+r_k.$
