ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM 2016 Bài 1 (4 điểm). Giải bất phương trình \[2\left(1-x\right)\sqrt{x^2+2x-1}\leqslant x^2-2x-1\] Bài 2 (4 điểm). Giải hệ phương trình \[\left\lbrace \begin{array}{l} 2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x} \\ \sqrt{9-4y^2}=2x^2+6y^2-7 \end{array} \right. \quad\left(x,y \in \mathbb{R}\right)\] Bài 3 (4 điểm). Cho tập hợp $E=\left\lbrace 1;2;3;4;5\right\rbrace$. Gọi $M$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất ba chữ số, các chữ số đôi một khác nhau thuộc $E$. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $M$. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng $10$. Bài 4 (4 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn, có $AC>AB$. Gọi $D$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$ và $E$ là hình chiếu của $D$ trên $AC$. Xét điểm $F$ trên đoạn $DE$. Chứng minh rằng \[AF\perp BF \iff EF.DC=BD.DE\] Bài 5 (4 điểm). Xét các số thực dương $a$, $b$, $c$ thoả mãn $ac\geqslant 12$ và $bc\geqslant 8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[D=a+b+c+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+\dfrac{8}{abc}\]
