Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Thanh Hoá năm 2011

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪


    Câu 1 (4,0 điểm)
    Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}{x}^{3}+2{x}^{2}-3x+1$

    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên

    2) Gọi $f(x)={x}^{3}-6{x}^{2}+9x-3$ , tìm số nghiệm của phương trình:

    $${\left[f(x) \right]}^{3}-6{\left[f(x) \right]}^{2}+9f(x)-3=0$$

    Câu 2 (4,0 điểm)

    1) Giải phương trình $(1+sinx)(1-2sinx)+2(1+2sinx)cosx=0$

    2) Giải hệ phương trình
    $$\begin{cases}
    &\ {2}^{2x-y}-{2}^{x+y}=(x+y)\sqrt{x+y}-(2x-y)\sqrt{2x-y}\\
    & \ \sqrt[3]{y}-2{(x-1)}^{3} +1=0
    \end{cases}$$

    Câu 3 (4,0 điểm)

    1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập.Tính xác suất để lấy được số lớn hơn 2012

    2. Tính tích phân
    $$I=\int_{\frac{\Pi }{2}}^{-\frac{\Pi }{2}}\frac{sinx+cosx}{3{sinx}^{2}+4{cosx}^{2}}dx$$

    Câu 4 (6,0 điểm)

    1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn $©: {x}^{2}+{y}^{2}=9$, đường thẳng $\Delta :y=x-3+\sqrt{3}$ và điểm $A(3,0)$.Gọi M là một điểm thay đổi trên đường tròn $ ©$ và B là một điểm sao cho tứ giác ABMO là hình bình hành.Tính diện tích tam giác ABM, biết trọng tâm G của tam giác ABM thuộc $\Delta $ và G có tung độ dương.

    2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB=a, BC=2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc bằng nhau.Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng $\frac{2a}{\sqrt{6}}$
    a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD
    b. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BD

    Câu 5 (2,0 điểm)

    Cho các số thực x, y, z thoả mãn $x>\frac{1}{3}, y>\frac{1}{2}, z>1$ và $\frac{3}{3x+2}+\frac{2}{2y+1}+\frac{1}{z}\geq 2$
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=(3x-1)(2y-1)(z-1)$