ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH THỪA THIÊN HUẾ NĂM 2011 Câu 1: Cho ${a_0} = 2012,\,\,{a_{n + 1}} = \dfrac{{a_n^2}}{{{a_n} + 1}}$, với $n$ là số nguyÊn không âm. Chứng minh rằng khi $0 \le n \le 1007$ thì $2012 - n$ là số nguyÊn lớn nhất bé hơn hoặc bằng ${a_n}$. Câu 2: Tìm giá trị bé nhất của $S = {2^{\sqrt x }} + {2^{\sqrt y }}$, trong đó $x,y$ là các số thực không âm thay đổi có tổng bằng $1$. Câu 3: Gọi $D$ là tập hợp tất cả các cặp số có thứ tự $\left( {m,n} \right)$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương. Kí hiệu $F\left( {m,n} \right)$ là hàm số xác định trÊn $D$, lấy giá trị nguyên dương và thoả mãn đồng thời các điều kiện sau với mọi số nguyên $m,n$: i) $F\left( {m,n} \right) = m$[/*] ii) $F\left( {m,n} \right) = F\left( {n,m} \right)$[/*] iii) $\left( {m + n} \right)F\left( {m,n} \right) = nF\left( {m,m + n} \right)$[/*] a. Tính $F\left( {20,12} \right)$. b. Chứng minh rằng $\dfrac{{mn}}{{F\left( {m,n} \right)}}$ là ước chung lớn nhất của $m$ và $n$. Câu 4: Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Tìm tập hợp các trọng tâm của những tứ diện có $4$ đỉnh đều là đỉnh của hình hộp.
