ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH TIỀN GIANG NĂM 2011 Câu 1. Tìm tổng các nghiệm thuộc đoạn $[2;40]$ của phương trình $$2\cos^2x+\cot^2x=\dfrac{\sin^3x+1}{\sin^2x}.$$ Câu 2. Giải hệ phương trình $$\begin{cases} (1+4^{2x-y})5^{1-2x+y}=1+2^{2x-y+1}\\ y^3+4x+1+\ln(y^2+2x)=0.\end{cases}$$ Giải phương trình $$3x^2+1+\log_{2011}\dfrac{4x^2+2}{x^6+x^2+1}=x^6$$ Câu 3. Chứng minh rằng $$\sin 18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}.$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $$f(x)=(32x^5-40x^3+10x-1)^{2012}+(16x^3-12x+\sqrt{5}-1)^{2010}$$ Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_0>0$ $$u_{n+1}=\dfrac{2+\sqrt{2u_n^2+4u_n+4}}{u_n}$$ với $n=1,2,3,\ldots$. Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó. Câu 4. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Trên tia đối $Ax$ của tia $AB$ lấy điểm $M$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MC$ và $MD$ ($C,D$ là các tiếp điểm và $D$ nằm trong $(O)$). Đường thẳng $AC$ cắt $(O)$ tại $P$ và đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định.
