ĐỀ THI CHỌN HSG TP. HỒ CHÍ MINH NĂM 2011 Bài 1: Giải các phương trình sau: (4 điểm) a) $\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$ b) $\sin^3 \left( x-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin x$ Bài 2: Giải các phương trình sau: (4 điểm) a) $x^3-x^2-10x-2=\sqrt[3]{7x^2+23x+12}$ b) $(3x+2)\sqrt{2x-3}=2x^2+3x-6$ Bài 3: (4 điểm) a) Cho các số thực $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh: $$\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\le 1$$ b) Cho các số thực $a,b,c\in [-1;2]$ và $a+b+c=0$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2 \le 6$ Bài 4: (3 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh đều bằng $a$. Gọi $M$ là 1 điểm trên cạnh $CD$ sao cho $CCM=\dfrac{1}{3}CD$. Tính theo $a$ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.AMB$. Bài 5: (2 điểm) Cho các số thực $x,y,z\in (0;1)$ và $xy+yz+zx=1$. Chứng minh $$\dfrac{x}{1-x^2}+\dfrac{y}{1-y^2}+\dfrac{z}{1-z^2}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$ Bài 6: Giải hệ phương trình sau: (3 điểm) $$\begin{cases}x^2y^2+2y^2+4=7xy\\x^2+2y^2+6y=3xy^2\end{cases}$$
