ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẾN TRE NĂM 2014 Câu 1 (5 điểm). a) Giải phương trình: $x^{4028}+\sqrt{x^{2014}+4}=4$ b) Cho số thực $x$ thỏa: $$2\left(4x^{3}-x+3\right)^{3}=3+2x^{3}$$ Tính giá trị của biểu thức: $$M=x^9+x^6+x^3 +1$$ Câu 2 (4 điểm). a) Cho tam giác $ABC$. Gọi $A_1, B_1, C_1$ là điểm bất kì trên cạnh $BC,CA$ và $AB$ sao cho các đường thẳng $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=AC_1.BA_1.CB_1$. b) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x+y+3=0$ và hai elip $(E_1):\dfrac{x^{2}}{10}+\dfrac{y^{2}}{6}=1$; $(E_2):\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1,\left(a>b>0\right)$ có cùng tiêu điểm. Biết rằng $(E_2)$ đi qua $M$ thuộc đường thẳng $d$. Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $(E_2)$ có độ dài trục lớn nhỏ nhất. Câu 3 (4 điểm). Cho hình thang $ABCD$ vuông góc ở $A$ và $D$, $AB=AD=a,DC=2a$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $D$, lấy điểm $S$ sao cho $SD=a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ với $AM=x$. Qua $M$ dựng mặt phẳng $(Q)$ vuông góc với $BD$, lần lượt cắt cạnh $DC,SC,SB$ tại $N,L,K$. a) Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$. b) Xác định và tính theo $x$ diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $(Q)$. Tìm $x$ để diện tích thiết diện này lớn nhất. Câu 4 (4 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau: $$\left\{ \begin{array}[t]{l}u_{1}=4\\ u_{n+1}=\left(n+1\right)u_{n}-3n \end{array},\forall n\in\mathbb{N}^{*}\right.$$ Tìm số hạng tổng quát của số $(u_n)$ và số $5043$ có thuộc dãy số $(u_n)$? Câu 5 (3 điểm). Tìm số hoán vị của các chữ số từ $1$ đến $9$ sao cho trong mỗi hoán vị không chứa các "khối" $48$; $89$ và $143$.
