ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2014 Bài 1: (4 điểm ) Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} 2x+\frac{1}{x+y}=3\\ 4xy+4x^2+4y^2+\frac{3}{\left ( x+y \right )^2}=7 \end{matrix}\right.$$ Bài 2: (4 điểm) a) Cho $p$ là một số nguyên tố, $k$ là một số nguyên dương. Một đường trong được chia thành $p$ cung bằng nhau. Tiến hành tô các cung bằng $k$ màu khác nhau ( mỗi cung được tô bằng một màu). Hai cách tô màu được coi là giống nhau nếu cách tô này sẽ thu được từ cách tô kia qua một phép quay với tâm là tâm của đường tròn. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu khác nhau? (Cách chứng minh định lí Fermat nhỏ bằng tổ hợp) b) Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn điều kiện: $P\left( x \right)=\sqrt{P\left( {{x}^{2}}+1 \right)-7}+6,\forall x\ge 0, P\left( 0 \right)=6$ Bài 3: (4 điểm) Cho số thực. Xét dãy số xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} x_1=a\\ x_{n+1}=1+ln\left ( \frac{x_n^2}{1+lnx_n} \right ) \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,…$. Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Với mỗi điểm $M$ trong đường tròn ta gọi $A’,B’,C’$ lần lượt là giao điểm của $AM,BM,CM$ với đường tròn. Tìm tập hợp các điểm $M$ trong đường tròn thỏa mãn hệ thức sau: $$\frac{MA}{MA'}+\frac{MB}{MB'}+\frac{MC}{MC'} \le 3$$ Bài 5: (4 điểm) Cho 2 điểm cố định $A, B$ và điểm di động trên mặt phẳng sao cho $\hat{ACB}=a \ (0<a<180)$ không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp $I$ của tam giác $ABC$ xuống ba cạnh $AB,\ BC,\ CA$ lần lượt là $D,E,F$. $AI$ và $BI$ cắt $EF$ lần lượt tại $M,N$. a) Chứng minh độ dài $MN$ không đổi. b) Chứng minh đường tròn $(DMN)$ luôn đi qua một điểm cố định.
