ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM 2014 Câu 1: Giải phương trình sau trên tập số thực: $$x+2\sqrt{5-x}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{10+3x-x^2}-2$$ Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol $y=\frac{1}{2}x^2$ lấy dãy các điểm $(A_n)$ và $(B_n)$ sao cho điểm $A_1$ có hoành độ dương và với mọi số nguyên dương n, đường thẳng $A_nB_n$ có hệ số góc bằng $-\frac{1}{4}$ và đường thẳng $B_nA_{n+1}$ có hệ số góc bằng $\frac{1}{5}$. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu $a_b$ và $b_n$ tương ứng là hoành độ của $A_n$ và $B_n$. Chứng minh rằng các dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó. Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$; $AB=2a, AD=2BC$. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh $SC=a\sqrt{5}$, với $H$ la trung điểm cạnh AB. Tính $d(D,(SCH))$ Câu 4: Giải phương trình: $$\sin^4x+\cos^4x+\frac{2}{\sin^4x}+\frac{2}{\cos^4x}=16+\frac{\sin2x}{2}$$ Câu 5: Cho $a,b$ và $c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức: $$P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$$ Câu 6:Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có góc $A$ < góc $B$, $O$ và $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC và đặt $a=BC,b=AC,c=AB$. CMR: Nếu tam giác $BIO$ vuông thì $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$ Câu 7: Cho $2014$ sô thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ thỏa $\left | \sum_{i=1}^{2014}x_i \right |>1$ và $\left | x_i \right | \le 1$ $(i=1,2,...,2014)$ CMR: Tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho $\left | \sum_{i=1}^{k}x_i -\sum_{i=k+1}^{2014}x_i\right |\le 1$
