ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM 2015 Bài 1 (4 điểm). Cho hàm số $y=\frac{2}{3}x^3+(m+1)x^2+(m^2+4m+3)x+1$ (1), với $m$ là tham số thực. 1) Tìm $m$ để hàm số (1) luôn đồng biến trên tập xác định của nó. 2) Tìm $m$ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị với hoành độ $x_1$, $x_2$ thoả mãn $2x_1x_2-(x_1+x_2)+2=0$. Bài 2 (4 điểm). Giải phương trình $1+2cos^2\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2} \right )=cos^2\left (\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6} \right )$. Bài 3 (4 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $A(4;-2)$ và đường tròn (C) có phương trình: $(x-3)^2+(y-2)^2=5$. 1) Tìm các điểm có toạ độ nguyên thuộc đường tròn $(C)$. 2) Tìm trên đường tròn $(C)$ điểm $B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$ ($O$ là gốc toạ độ). Bài 4 (4 điểm). Cho tứ diện $SABC$ có ba cạnh $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc và $AC=2SB$, $BC=2SA$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $S$ lên các đường thẳng $AC$, $BC$ và $I$ là trung điểm đoạn $AB$. Chứng minh rằng: 1) Đường thẳng $SC$ vuông góc với đường thẳng $EF$. 2) $tan^2(\alpha )+tan^2(\beta )+\frac{EF}{AB}=\frac{5}{4}$. Với $\alpha=\widehat{SCI}$ và $\beta=\widehat{SCA}$. Bài 5 (4 điểm). Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thoả mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng: $$\sum \frac{x^3-2x^2+x}{\sqrt{x}(y+z)} \leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$$. Bài 6 (5 điểm). Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & & & \\ xy+yz-zx=7 & & & \\ x^2+y^2+z^2=14 & & & \end{matrix}\right.$ Bài 7 (5 điểm). Cho hàm số $f(x)=(x+m)^3+(x+n)^3-x^3$ ($m$, $n$ là tham số thực). Chứng minh rằng với mọi $m$, $n$ thì phương trình $f(x)=0$ có đúng một nghiệm thực. Bài 8 (5 điểm). Năm điểm thứ tự $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$ chia đường tròn bán kính $R$ thành $5$ cung bằng nhau. Chứng minh rằng: $A_1A_2.A_1A_3=\sqrt{5}R^2$. Bài 9 (5 điểm). Tìm số tự nhiên $N$ có ba chữ số sao cho: Tổng các giai thừa ba chữ số của $N$ bằng $N$.
