ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH SƠN LA NĂM 2014 Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận tại $A, B$ sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $IAB$ lớn nhất với $I$ là giao điểm của 2 đường tiệm cận. Câu 2 (4 điểm) Giải hệ phương trình với $x, y, z \in \mathbb{R}$: $$\left\{\begin{matrix} x^2+3x+2=\dfrac{8}{y}-\sqrt{5y-1}\\ y^2+3y+2=\dfrac{8}{z} - \sqrt{5z-1}\\ z^2+3z+2=\dfrac{8}{x} - \sqrt{5x-1} \end{matrix}\right.$$ Câu 3 (4 điểm). Cho các điểm $A, B, C$ thuộc một đường thẳng, một điểm $P$ nằm ngoài đường thẳng đó. Chứng minh rằng tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABP, BCP, CAP$ và điểm $P$ cùng thuộc một đường tròn. Câu 4 (4 điểm) Cho các số dương $x, y, z$ và $xyz=1$. Chứng minh bất đẳng thức: $$\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)} + \dfrac{y^3}{(1+z)(1+x)} + \dfrac{z^3}{(1+x)(1+y)} \ge \dfrac{3}{4}$$ Câu 5 (4 điểm) Tìm hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x^2) - f(y^2) = \left(x+y\right) \left(f(x)-f(y)\right)$$
