ĐỀ THI CHỌN HSG TP. CẦN THƠ NĂM 2009 Câu 1 Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình: $$3x^2 + 11x - 1 = 13\sqrt {2x^3 + 2x^2 + x - 1}$$ Câu 2 Cho hàm số $y = x^3 - 3x$ có đồ thị ©. 1. Gọi $M$ là một điểm thuộc © có hoành độ $x_0 \ne 0$ . Chứng minh tiếp tuyến của © tại M luôn cắt © tại một điểm $M_{1}$ khác $M$. Xác định hoành độ của $M_1$ 2. Cho $A, B, C$ là 3 điểm phân biệt, thẳng hàng, có hoành độ khác $0$ và cùng thuộc ©. Tiếp tuyến của © tại $A, B, C$ cắt © lần lượt tại $A_1, B_1, C_1$ đôi một khác nhau. Chứng minh ba điểm $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng. Câu 3 1. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {x^3 } - \dfrac{3}{2}x$ trên khoảng $\left( {0, + \infty } \right)$. 2. Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh $\sqrt {\dfrac{{a^3 }}{{b^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{b^3 }}{{c^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{c^3 }}{{a^3 }}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$ . Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, viết phương trình đường tròn $ (T) $đi qua hai điểm $A(6;-1), B(2,3)$ và tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right):\left( {x - 5} \right)^2 + \left( {y - 3} \right)^2 = 1$ Câu 5 Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn $$\left\{ \begin{array}{l} P\left( 1 \right) = 2010 \\ \left( {x - y} \right)P\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)P\left( {x - y} \right) = 4xy\left( {x^2 - y^2 } \right),\forall x,y \in R \\ \end{array} \right.$$ Câu 6 Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $A',B',C'$ theo thứ tự là các điểm di động trên các cạnh $SA, SB, SC$ sao cho: $\dfrac{{SA}}{{SA'}} + \dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SC}}{{SC'}} = 4.$ 1. Chứng minh mặt phẳng $(A'B'C')$ luôn đi qua một điểm cố định. 2. Xác định vị trí của $A',B'$ và $C'$ để thể tích khối đa diện $ABCC'B'A'$ đạt giá trị lớn nhất. Câu 7 Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $$x^2 + 15y^2 + 8xy - 8x - 36y - 28 = 0.$$
