ĐỀ THI OLYMPIC DUYÊN HẢI BẮC BỘ NĂM 2011 Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases}x^3- y^3-3y^2= 9\\x^2+ y^2= x- 4y\end{cases}$ Câu 2: (4 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xy+ yz+ zx= 3$ . Chứng minh bất đẳng thức: $$\frac{x^2} {\sqrt{x^3+ 8}}+\frac{y^2} {\sqrt{y^3+ 8}}+ \frac{z^2} {\sqrt{z^3+ 8}} \ge 1$$ Câu 3: (4 điểm) Trên các cạnh $BC,CA,AB$ và về phía ngoài tam giác $ABC$ ta dựng các hình vuông $BCMN, ACPQ, ABEF$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Kí hiệu $A_{1}$ là giao điểm của $AG$ và $FQ$ , $B_{1}$ là giao điểm của $BG$ và $NE$, $C_{1}$ là giao điểm của $CG$ và $MP$. Ta xác định các điểm $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ sao cho $AGC_{2}F, BGA_{2}N, CGB_{2}P$ là các hình bình hành. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ tương ứng vuông góc với $B_{1}C_{1}, C_{1}A_{1}, A_{1}B_{1}$ đồng quy. Câu 4: (4 điểm) Giả sử $m,n$ là các số tự nhiên thoả mãn: $4m^3+ m= 12n^3+ n$. Chứng minh rằng $m-n$ là lập phương của một số nguyên. Câu 5: (4 điểm) Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ , xét tập hợp $M$ các điểm có toạ độ $(x;y)$ với $x,y$ nguyên dương và $x \le12, y \le 12$ . Mỗi điểm trong $M$ được tô bởi một trong ba màu: màu đỏ, màu trắng hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ mà tất cả các đỉnh của nó thuộc và được tô cùng màu.
