Bài 1 trang 9 sách sgk giải tích 12. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) \(y = 4 + 3x - x^2\) ; b) \(y ={1 \over 3}x^3\) + \(3x^2-7x - 2\) ; c) \(y = x^4\) - \(2x^2\) +\( 3\) ; d) \(y = -x^3\)+ \(x^2\) - \(5\). Giải: 1. a) Tập xác định : \(D =\mathbb R\); \(y' = 3 - 2x => y' = 0 ⇔ x =\) \({3 \over 2}\). Bảng biến thiên : z Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;{3 \over 2}} \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( { {3 \over 2}};+\infty \right)\) b) Tập xác định \(D=\mathbb R\); \(y'= x^2\)+ \(6x - 7 \Rightarrow y' = 0 ⇔ x = 1, x = -7\). Bảng biến thiên : Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-∞ ; -7), (1 ; +∞)\) ; nghịch biến trên các khoảng \((-7 ; 1)\). c) Tập xác định : \(D=\mathbb R\). \(y' = 4x^3\)-\(4x = 4x(x^2-1)\) \(\Rightarrow y' = 0 ⇔ x = -1, x = 0, x = 1\). Bảng biến thiên : Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1 ; 0), (1 ; +∞)\) ; nghịch biến trên các khoảng \((-∞ ; -1), (0 ; 1)\). d) Tập xác định :\( D=\mathbb R\). \(y' = -3x^2\) +\( 2x \Rightarrow y' = 0 ⇔ x = 0, x =\) \({2 \over 3}\). Bảng biến thiên : Hàm số đồng biến trên khoảng \(( 0 ; {2 \over 3} )\) ; nghịch biến trên các khoảng \((-∞ ; 0)\), \(({2 \over 3}; +∞)\). Bài 2 trang 10 sách sgk giải tích 12. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: a) \(y=\frac{3x+1}{1-x}\) ; b) \(y=\frac{x^{2}-2x}{1-x}\) ; c) \(y=\sqrt{x^{2}-x-20}\) ; d) \(y=\frac{2x}{x^{2}-9}\). Hướng dẫn giải: a) Tập xác định : \(D =\mathbb R \setminus\){ 1 }. \(y'=\frac{4}{(1-x)^{2}}\)> 0, \(∀x \neq 1\). Hàm số đồng biến trên các khoảng : \((-∞ ; 1), (1 ; +∞)\). b) Tập xác định : \(D =\mathbb R\setminus\){ 1 }. \(y'=\frac{-x^{2}+2x-2}{(1-x)^{2}}< 0\), \(∀x \neq 1\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng: \( (-∞ ; 1), (1 ; +∞)\). c) Tập xác định :\( D = (-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞)\). \(y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x-20}}\) \(∀x ∈ (-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞)\). Với \(x ∈ (-∞ ; -4)\) thì \(y’ < 0\); với \(x ∈ (5 ; +∞)\) thì \(y’ > 0\). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-∞ ; -4)\) và đồng biến trên khoảng \((5 ; +∞)\). d) Tập xác định : \(D =\mathbb R\setminus \){ -3 ; 3 }. \(y'=\frac{-2(x^{2}+9)}{\left (x^{2}-9 \right )^{2}} < 0, ∀x \neq ±3\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng : \((-∞ ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +∞)\). Bài 3 trang 10 sách sgk giải tích 12. Chứng minh rằng hàm số \(y={{1 - {x^2}} \over {{{({x^2} + 1)}^2}}}\) đồng biến trên khoảng \((-1 ; 1)\) và nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \((1 ; +∞)\). Giải: Tập xác định : \(D=\mathbb R\). \(y' = {{1 - {x^2}} \over {{{({x^2} + 1)}^2}}}\) \(\Rightarrow y' = 0 ⇔ x=-1\) hoặc \(x=1\). Bảng biến thiên : Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-1 ; 1)\); nghịch biến trên các khoảng \((-∞ ; -1), (1 ; +∞)\). Bài 4 trang 10 sách sgk giải tích 12. Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt {2x - {x^2}}\) đồng biến trên khoảng \((0 ; 1)\) và nghịch biến trên các khoảng \((1 ; 2)\). Giải: Tập xác định : \(D = [0 ; 2]\); \(y' = \frac{1-x}{^{\sqrt{2x-x^{2}}}}\), \(\forall x \in (0;2)\); \(y' = 0 \)\(\Leftrightarrow x=1\) Bảng biến thiên : Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0 ; 1)\) và nghịch biến trên khoảng \((1 ; 2)\). Bài 5 trang 10 sách sgk giải tích 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) \(tanx > x\) \((0 < x < \frac{\pi }{2})\); b) \(tanx > x + \frac{x^{3}}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\). Giải: a) Xét hàm số \(y = f(x) = tanx – x\) với \(x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\). Ta có : \(y’\) = \(\frac{1}{cos^{2}x} - 1 ≥ 0\), \(x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\); \(y’ = 0 ⇔ x = 0\). Vậy hàm số luôn đồng biến trên \((0 ; \frac{\pi }{2})\). Từ đó \(∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\) thì \(f(x) > f(0)\) \(⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0\) hay \(tanx > x\). b) Xét hàm số \(y = g(x) = tanx – x\) - \(\frac{x^{3}}{3}\). với \(x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\). Ta có : \(y’ = \frac{1}{cos^{2}x} - 1 -x^2\)=\(1 + {\tan ^2}x - 1 - {x^2} = (ta{n^2}x - {x^2})\) = \((tanx - x)(tanx + x)\), \(∀x ∈ (0 ;\frac{\pi }{2} )\). Vì \(∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\) nên \(tanx +x ≥ 0\) và \(tanx - x >0\) (theo câu a). Do đó \(y' ≥ 0, ∀x ∈ (0 ;\frac{\pi }{2})\). Dễ thấy \(y' = 0 ⇔ x = 0\). Vậy hàm số luôn đồng biến trên (0 ; \(\frac{\pi }{2}\)). Từ đó : \(∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\) thì \(g(x) > g(0) \)\(⇔ tanx – x - \frac{x^{3}}{3}\) \(> tan0 - 0 - 0 = 0\) hay \( tanx > x + \frac{x^{3}}{3}\).
