Bài 1 trang 18 sách sgk giải tích 12. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau : a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{x^{3}} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}36x{\rm{ }}-{\rm{ }}10\) ; b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}x{^4} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3\) ; c) \(y = x + {1 \over x}\) d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}{\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right)^{2}}\); e) \(y = \sqrt {{x^2} - x + 1}\) Giải: a) Tập xác định: \(D = \mathbb R\) \(\eqalign{ & y' = 6{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} - 36;y' = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2\left( {y = - 54} \right) \hfill \cr x = - 3\left( {y = 71} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \) Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực trị tại \(x = -3\) và \(y\)CĐ \(= 71\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \(y\)CT \(= -54\) b) Tập xác định: \(D =\mathbb R\) \(y' = 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}} = 4{\rm{x}}\left( {{x^2} + 1} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {y = - 3} \right)\) Bảng biến thiên: Hàm số có điểm cực tiểu tại \(x = 0\) và \(y\)CT \(= -3\) c) Tập xác định: \(D = \mathbb R\)\ { 0 } \(\eqalign{ & y' = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}};y' = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\left( {y = 2} \right) \hfill \cr x = - 1\left( {y = - 2} \right) \hfill \cr} \right. \cr}\) Bảng biến thiên Hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\), \(y\)CĐ \(= -2\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(y\)CT \(= 2\) d) Tập xác định \(D = \mathbb R\) \( y' = 3{{\rm{x}}^2}{\left( {1 - x} \right)^2} - 2{{\rm{x}}^3}\left( {1 - x} \right) \) \(= {x^2}\left( {1 - x} \right)\left( {3 - 5{\rm{x}}} \right)\) \(\eqalign{ & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\left( {y = 0} \right) \hfill \cr x = {3 \over 5}\left( {y = {{108} \over {3125}}} \right) \hfill \cr x = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại \(x = {3 \over 5};y = {{108} \over {3125}}\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(y\)CT =\( 0\) e) Vì \(x^2\) –\( x + 1 > 0, ∀ ∈ \mathbb R\) nên tập xác định : \(D = \mathbb R\) \(y' = {{2{\rm{x}} - 1} \over {2\sqrt {{x^2} - x + 1} }};y = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left( {y = {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)\) Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {1 \over 2};{y_{CT}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) Bài 2 trang 18 sách sgk giải tích 12. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau: a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1\) ; \(b) y = sin2x – x\); c)\(y = sinx + cosx\); d)\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\). Giải: a) \(y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x({x^2} - {\rm{ }}1)\) ; \(y' = 0\) \(⇔ 4x(\)\(x^2\)\( - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = \pm 1\). \( y'' = 12x^2-4\). \(y''(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), \(y\)cđ =\( y(0) = 1\). \(y''(\pm 1) = 8 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm1\), \(y\)ct = \(y(\pm1)\) = 0. b) \(y' = 2cos2x - 1\) ; \(y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi\) \(\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .\) \(y'' = -4sin2x\) . \(y''\left ( \frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left ( \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=-2\sqrt{3}<0\) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{\pi }{6}+ kπ\), \(y\)cđ =\( sin(\frac{\pi }{3}+ k2π) - \frac{\pi }{6} - kπ\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}- kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\). \(y''\left ( -\frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left (- \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2\sqrt{3}>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x =-\frac{\pi }{6}+ kπ\), \(y\)ct = \(sin(-\frac{\pi }{3}+ k2π) + \frac{\pi }{6} - kπ\) =\(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6} - kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\). c) \(y = sinx + cosx \)= \(\sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi }{4} \right )\); \( y' \)=\(\sqrt{2}cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )\) ; \(y'=0\Leftrightarrow cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow\)\(x+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .\) \(y''=-\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right ).\) \(y''\left ( \frac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right )\) \(=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{2} +k\pi \right )\) \(=\left\{ \matrix{ - \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr \sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.\) Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi }{4}+k2\pi\), đạt cực tiểu tại các điểm \(x=\frac{\pi }{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).\) d) \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} - {\rm{ }}1)(5{x^2} + {\rm{ }}2)\); \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \pm 1\). \(y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x\). \(y''(1) = 14 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(y\)ct =\( y(1) = -1\). \(y''(-1) = -14 < 0\) hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\), \(y\)cđ = \(y(-1) = 3\). Bài 3 trang 18 sách sgk giải tích 12. Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{\left | x \right |}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó. Giải: Đặt \(y=f(x)=\sqrt{\left | x \right |}\). Giả sử \(x > 0\), ta có : \(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty .\) Do đó hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\) . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) vì \(f(x)=\sqrt{\left | x \right |}\geq 0=f(0),\forall x\in\mathbb R\). Bài 4 trang 18 sách sgk giải tích 12. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}m{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\) luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Giải: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2mx{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }},\Delta ' = {\rm{ }}{m^{2}} + {\rm{ }}6{\rm{ }} > {\rm{ }}0\) nên \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt và \(y’\) đổi dấu khi qua các nghiệm đó. Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu. Bài 5 trang 18 sách sgk giải tích 12. Tìm \(a\) và \(b\) để các cực trị của hàm số \(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\) đều là những số dương và \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại. Giải: - Xét \(a = 0\) hàm số trở thành \(y = -9x + b\). Trường hợp này hàm số không có cực trị. - Xét \(a \ne 0\). Ta có : \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}5{a^2}{x^2} + {\rm{ }}4ax{\rm{ }}-{\rm{ }}9\); \(y’= 0 \)\(⇔ x=-\frac{1}{a}\) hoặc \(x=-\frac{9}{5a}\) - Với \(a < 0\) ta có bảng biến thiên : Theo giả thiết \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(\frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{9}{5}\). Theo yêu cầu bài toán thì \(y_{(CT)}=y\left ( -\frac{9}{5a} \right )=y(1)>0\) \(\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )^{2}+2\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )-9+b>0\Leftrightarrow b>\frac{36}{5}.\) - Với \(a > 0\) ta có bảng biến thiên : Vì \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(-\frac{9}{5a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{81}{25}\). Theo yêu cầu bài toán thì: \(y_{(ct)}=y\left ( \frac{1}{a} \right )=y\left ( \frac{25}{81} \right )>0\) \(\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( \frac{81}{25} \right )^{2}\left ( \frac{25}{81} \right )^{3}+2.\frac{81}{25}\cdot \left ( \frac{25}{81} \right )^{2}-9\cdot \frac{25}{81}+b>0\) \(\Leftrightarrow b>\frac{400}{243}.\) Vậy các giá trị \(a, b\) cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} a=-\frac{9}{5} & \\ b>\frac{36}{5} & \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} a=\frac{81}{25} & \\ b>\frac{400}{243} & \end{matrix}\right.\). Bài 6 trang 18 sách sgk giải tích 12. Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{x^{2}+mx+1}{x+m}\) đạt cực đại tại \(x = 2\). Giải: Tập xác định : \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -m \right \};\) \(y'=\frac{2x^{2}+2mx+m^{2}-1}{(x+m)^{2}}.\) Nếu hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) thì \(y'(2) = 0\) \(⇔ {m^{2}} + {\rm{ }}4m{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)\( ⇔ m=-1\) hoặc \(m=-3\) - Với \(m = -1\), ta có : \(y=\frac{x^{2}-x+1}{x-1};\) \(y'=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}; y'=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2} -2x=0& \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\). Ta có bảng biến thiên : Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại \(x = 2\). - Với \(m = -3\), ta có: \(y=\frac{x^{2}3x+1}{x-3};\) \(y'=\frac{x^{2}-6x+8}{(x-3)^{2}};y'=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2-6x+8=0} & \\ x\neq 3 & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=2\) hoặc \(x=4\) Ta có bảng biến thiên : Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\). Vậy \(m = -3\) là giá trị cần tìm.
