Câu 1 trang 45 SGK Giải tích 12. Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: \(y = - {x^3} + 2{x^2} - x - 7\) \(y = {{x - 5} \over {1 - x}}\) Trả lời: *Xét hàm số: \(y = - {x^3} +2{x^2} - x - 7\) Tập xác định: \(D =\mathbb R\) \(\eqalign{ & y = - 3{x^2} + 4x-1{\rm{ }} = 0 \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over 3},x = 1 \cr} \) \(y’ > 0\) với \(x\in({1\over3};1)\) \(y’ < 0\) với \(x \in ( - \infty ,{1 \over 3}) \cup (1, + \infty )\) Vậy hàm số đồng biến trong \(({1 \over 3},1)\) và nghịch biến trong \(( - \infty ,{1 \over 3}) \cup (1, + \infty )\) b) Xét hàm số: \(y = {{x - 5} \over {1 - x}}\) Tập xác định: \(D = \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} \) \(y' = {{ - 4} \over {{{(1 - x)}^2}}} < 0,\forall x \in D\) Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng \((-∞,1)\) và \((1, +∞)\). Câu 2 trang 45 SGK Giải tích 12. Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y= {x^4}-2{x^2} + 2\) Trả lời: Xét hàm số: \(y= {x^4}-2{x^2} + 2\) Có đạo hàm là: \(y’ = 4x^3– 4x = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = -1\) Đạo hàm cấp hai: \(y’’ = 12x^2 – 4\) \(y’’(0) = -4 < 0 ⇒\) điểm cực đại \(x_{CĐ}=0\); \(y_{CĐ}=2\) \(y’’(-1) = 8 > 0, y’’(1) = 8 > 0\) \(⇒ \) các điểm cực tiểu \(x_{CT}=1\) và \(x_{CT}=-1\); \(y_{CT}= y_( \pm 1)=1\). Câu 3 trang 45 SGK Giải tích 12. Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các đường tiệm cận của hàm số : \(y = {{2x + 3} \over {2 - x}}\) Trả lời: - Cách tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y=y_0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0} \cr} \) - Cách tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x=x_0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = + \infty \cr} \) Áp dụng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = - \infty \) \(⇒ x = 2\) là đường tiệm cận đứng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{2 + {3 \over x}} \over {{2 \over x} - 1}} = - 2\) \(⇒\) Đồ thị có đường tiệm cận ngang \( y = -2\) Câu 4 trang 45 SGK Giải tích 12. Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Trả lời: *Tập xác định Tìm tập xác định của hàm số *Sự biến thiên của hàm số - Xét chiều biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm \(y’\) + Tại các điểm đó đạo hàm \(y’\) bằng 0 hoặc không xác định + Xét dấu đạo hàm \(y’\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số. - Tìm cực trị - Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) - Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên) *Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị, - Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \(T\) thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \(Ox\) - Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. - Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác. Câu 5 trang 45 SGK Giải tích 12. Cho hàm số \(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) có đồ thị là (Cm), \(m\) là tham số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\) b) Xác định m để hàm số: - Đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\) - Có cực trị trên khoảng \((-1, +∞)\) c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\). Trả lời: \(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) (Cm). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên. a) \(m = 1 ⇒ y = 2x^2+ 2x\) Tập xác định \(D =\mathbb R\) * Sự biến thiên: \(y' = 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = {{ - 1} \over 2} \) - Hàm số đồng biến trên khoảng \(({-1\over2};+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty; {-1\over2})\) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x={-1\over2}\); \(y_{CT}={-3\over 2}\) - Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \) Bảng biến thiên: *Đồ thị Đồ thị hàm số giao trục \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((0;0)\) b) Tổng quát \(y = 2x^2+ 2mx + m -1\) có tập xác định \(D = \mathbb R\) \(y' = 4x + 2m = 0 \Leftrightarrow x = {{ - m} \over 2}\) Suy ra \(y’ >\) 0 với \(x > {{ - m} \over 2};y' < 0\) với \(x < {{ - m} \over 2}\) , tức là hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ,{{ - m} \over 2})\) và đồng biến trên \(({{ - m} \over 2}, + \infty )\) i) Để hàm số đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\) thì phải có điều kiện \(( - 1,{\rm{ }} + \infty ) \in ({{ - m} \over 2}, + \infty )\) \( \Leftrightarrow {{ - m} \over 2} \le - 1 \Leftrightarrow m \ge 2\) ii) Hàm số đạt cực trị tại \(x = {{ - m} \over 2}\) . Để hàm số đạt cực trị trong khoảng \((-1, +∞)\), ta phải có: \(\eqalign{ & {{ - m} \over 2} \in ( - 1, + \infty ) \cr & \Leftrightarrow {{ - m} \over 2} > - 1 \Leftrightarrow 1 > {m \over 2} \Leftrightarrow m < 2 \cr} \) c) (Cm) luôn cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \(x = {{ - m} \over 2}\) \(⇔\) phương trình \(2x^2+ 2mx + m – 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Ta có: \(Δ’ = m^2– 2m + 2 = (m-1)^2+ 1 > 0 ∀m\) Vậy (Cm) luôn cắt \(O x\) tại hai điểm phân biệt. Bài 6 trang 45 SGK Giải tích 12. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \((C)\) của hàm số \(f(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2\) b) Giải bất phương trình \(f’(x-1)>0\) c) Vẽ phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\)tại điểm có hoành độ \(x_0\), biết rằng \(f’’(x_0) = -6\) Trả lời: a) Tập xác định: \(D =\mathbb R\) * Sự biến thiên: \(y' = - 3{x^2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = - 1,x = 3 \) - Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-1;3)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty; -1)\) và \((3;+\infty)\) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=3\); \(y_{CĐ}=29\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\); \(y_{CT}=-3\) - Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty \) -Bảng biến thiên: * Đồ thị Đồ thị hàm số giao trục \(Oy\) tại điểm \((0;2)\) Đồ thị hàm số nhận \(I(1;13)\) làm tâm đối xứng. b) \(y=f(x) = f(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2\) \(f’(x) = - 3{x^2} + 6x + 9 = 0\). Do đó: \(f’(x-1)=-3(x-1)^2+6(x-1)+9\) = \(-3x^2+ 12x = -3x(x-4) > 0 ⇔ 0 < x < 4\) c) \(f’’(x) = -6x+6\) \(f’’(x_0)= -6 ⇔ -6x_0+ 6 = -6 ⇔ x_0= 2\) Do đó: \(f’(2) = 9, f(2) = 24\). Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(x_0= 2\) là: \(y=f’(2)(x-2) + f(2)\) hay \(y = 9x+6\). Câu 7 trang 46 SGK Giải tích 12. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số: \(y = x^3+ 3x^2+ 1\) b) Dựa vào đồ thị \((C)\), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m \({x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\) c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị \((C)\) Trả lời: a) \(y = x^3+ 3x^2+ 1\) Tập xác định: \(D =\mathbb R\) * Sự biến thiên: \(y’= 3x^2+ 6x = 3x(x+ 2)\) \(y’=0 ⇔ x = 0, x = -2\). - Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\); \(y_{CĐ}=5\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=1\). - Giới hạn: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \) - Bảng biến thiên: Đồ thị: Đồ thị hàm số giao \(Oy\) tại \((0;1)\) Đồ thị hàm số nhận \(I(-1;3)\) làm tâm đối xứng. b) Số nghiệm của phương trình \({x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\) chính là số giao điểm của \((C)\) và đường thẳng \((d)\): \(y = {m \over 2}\) Từ đồ thị ta thấy: - Với \({m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm - Với \({m \over 2} = 1 ⇔ m = 2\): (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm - Với \(1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2<m<10\), phương trình có 3 nghiệm. - Với \({m \over 2} = 5 \Leftrightarrow m = 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm. - Với \({m \over 2} > 5 \Leftrightarrow m > 10\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm c) Điểm cực đại \((-2, 5)\), điểm cực tiểu \((0, 1)\). Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: \({{y - 1} \over 4} = {x \over { - 2}} \Leftrightarrow y = - 2x + 1\) Bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12. Cho hàm số: \(f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1\) ( \(m\) là tham số) a) Xác định \(m\) để hàm số đồng biến trên một tập xác định b) Với giá trị nào của tham số \(m\), hàm số có một cực đại và một cực tiểu c) Xác định \(m\) để \(f’’(x)>6x\) Trả lời a) \(y=f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1\) Tập xác định: \(D =\mathbb R\) \(y’= 3x^2-6mx + 3(2m-1) = 3(x^2– 2mx + 2m – 1)\) Hàm số đồng biến trên \(D =\mathbb R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R\) \(⇔ x^2– 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈\mathbb R\) \(⇔ Δ’ = m^2– 2m + 1 = (m-1)^2\le 0 ⇔ m =1\) b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu \(⇔\) phương trình \(y’= 0\) có hai nghiệm phân biệt \(⇔ (m-1)^2> 0 ⇔ m≠1\) c) \(f’’(x) = 6x – 6m > 6x\) \(⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0\) Câu 9 trang 46 SGK Giải tích 12. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số \(f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\) b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(f’’(x) = 0\) c) Biện luận theo tham số \(m\) số nghiệm của phương trình: \(x^4- 6x^2+ 3 = m\) Trả lời: a) Xét hàm số y = \(f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\) \((C)\) Tập xác định: \(D =\mathbb R\) * Sự biến thiên: \(y’ = 2x^3- 6x = 2x(x^2– 3)\) \(y’ = 0 ⇔ x = 0, x = ±\sqrt3\) - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-\sqrt3)\) và \((0;\sqrt3)\), đồng biến trên khoảng \((-\sqrt 3;0)\) và \((\sqrt3;+\infty)\). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}={3\over 2}\) Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x=-\sqrt3\) và \(x=\sqrt3\); \(y_{CT}=y_(\pm\sqrt3)=-3\) - Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \) - Bảng biến thiên: * Đồ thị: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng. b) \(y’’ = 6x^2– 6x\) \(y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6x = 0 ⇔ x = ± 1\) \(y’(-1) = 4, y’(1) = -4, y(± 1) = -1\) Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \((-1, -1)\) là : \(y = 4(x+1) – 1= 4x+3\) Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \((1, -1)\) là: \(y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3\) c) Ta có: \({x^4} - 6{x^2} + 3 = m \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = {m \over 2}\) (1) Số nghiệm của (1) là số giao điểm của \((C)\) và đường thẳng (d) : \(y = {m \over 2}\) Từ đồ thị ta thấy: \(m < -6\): ( 1) vô nghiệm \(m = -6\) : (1) có 2 nghiệm \(-6 < m < 3\): (1) có 4 nghiệm \(m = 3\): ( 1) có 3 nghiệm \(m > 3\): (1) có 2 nghiệm Bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12. Cho hàm số: \(y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1\) ( \(m\) là tham số) có đồ thị (Cm) a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số b) Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành? c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu Trả lời: a) \(y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1\)(Cm). Tập xác định: \(D =\mathbb R\) \(y' = -4x^3+ 4mx = -4x (x^2- m)\) +) Với \(m ≤ 0\) thì \(y’\) có một nghiệm \(x = 0\) và đổi dấu \(+\) sang \(–\) khi qua nghiệm này. Do đó hàm số có một cực đại là \(x = 0\) +) Với \(m>0\) Hàm số có 3 cực trị. Do đó, hàm số có 2 cực đại tại \(x = ± \sqrt m\) và có một cực tiểu tại \(x = 0\) b) Phương trình \(-x^4+ 2mx^2- 2m + 1=0\) luôn có nghiệm \(x = ± 1\) với mọi m nên (Cm) luôn cắt trục hoành. c) Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với \(m > 0\) thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu. Bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = {{x + 3} \over {x + 1}}\) b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), đường thẳng \(y = 2x + m\) luôn cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(M\) và \(N\) c) Xác định m sao cho độ dài \(MN\) là nhỏ nhất d) Tiếp tuyến tại một điểm \(S\) bất kì của \((C)\) luôn cắt hai tiệm cận của \((C)\) tại \(P\) và \(Q\). Chứng minh rằng \(S\) là trung điểm của \(PQ\). Trả lời: a) \(y = {{x + 3} \over {x + 1}}\) Tập xác định : \(D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \) * Sự biến thiên: \(y' = {{ - 2} \over {{{(x + 1)}^2}}} < 0,\forall x \in D\) - Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\) - Cực trị: Hàm số không có cực trị. - Tiệm cận: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 1 \cr} \) Tiệm cận đứng: \(x = -1\) Tiệm cận ngang: \(y = 1\) Bảng biến thiên: * Đồ thị: Đồ thị hàm số giao \(Ox\) tại \((-3;0)\), giao \(Oy\) tại \((0;3)\) Đồ thị hàm số nhận điểm \(I(-1;1)\) làm tâm đối xứng. b) Xét phương trình có nghiệm là hoành độ giao điểm của \((C)\) và đường thẳng (d): \(y = 2x + m\) (1) \(\eqalign{ & {{x + 3} \over {x + 1}} = 2x + m \Leftrightarrow x + 3 = (2x + m)(x + 1) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + (m + 1)x + m - 3 = 0,x \ne - 1 \cr} \) \(Δ = (m+1)^2– 4.2(m-3) = m^2– 6m + 25 = (m-3)^2+ 16> 0\), nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\). Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M, N\) (hoành độ của \(M, N\) chính là nghiệm của (1)). c) Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \matrix{ {x_M} + {x_N} = - {{m + 1} \over 2} \hfill \cr {x_M}.{x_N} = {{m - 3} \over 2} \hfill \cr} \right.\) \(\eqalign{ & M{N^2} = {\rm{ }}{\left( {{x_M}-{x_N}} \right)^2} + {\rm{ }}{({y_M} - {\rm{ }}{y_N})^2} \cr & = {\left( {{x_M}-{x_N}} \right)^2} + {\left[ {(2{x_M} + m) - (2{x_N} + m)} \right]^2} \cr & = 5{\left( {{x_M}-{x_N}} \right)^2} = 5\left[ {{{\left( {{x_M}+{x_N}} \right)}^2} - 4{x_M}{x_N}} \right] \cr & = 5\left[ {{{( - {{m + 1} \over 2})}^2} - 4.{{m - 3} \over 2}} \right] = {5 \over 4}({m^2} - 6m + 25) \cr & = {5 \over 4}\left[ {{{(m - 3)}^2} + 16} \right] \ge {5 \over 4}.16 = 20 \cr} \) \(MN = 2\sqrt5 ⇔ m = 3\) Vậy độ dài \(MN\) nhỏ nhất bằng \(2\sqrt5\) khi \(m=3\) d) Giả sử \(S(x_0;y_0)\) là điểm bất kì thuộc (C) Phương trình tiếp tuyến \(Δ\) của (C) tại \(S\) là: \(\eqalign{ & y - y = y'({x_0})(x - {x_0}) \cr & \Leftrightarrow y = {{ - 2} \over {{{({x_0} + 1)}^2}}}(x - {x_0}) + {{{x_0} + 3} \over {{x_0} + 1}} \cr} \) \(Δ\) cắt tiệm cận ngang tại \(P(2x_0+ 1, 1)\), \(Δ\) cắt tiệm cận đứng tại \(Q( - 1,{y_0} + {2 \over {{x_0} + 1}})\) Rõ ràng: \({x_P} + {x_Q} = 2{x_0},{y_P} + {y_Q} = 2{y_0}\). Do đó, \(S\) là trung điểm của \(PQ\). Câu 1 trang 47 SGK Giải tích 12. Số điểm cực trị của hàm số là: \(y = - {1 \over 3}{x^3} - x + 7\) A. \(1\) B. \(0\) C. \(3\) D. \(2\) Trả lời \(y’ = -x^2- 1 < 0, ∀x ∈\mathbb R\) Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định. Do đó hàm số không có cực trị. Chọn đáp án B Câu 2 trang 47 SGK Giải tích 12. Số điểm cực đại của hàm số \(y = x^4+ 100\) là: A. \(0\) B. \(1\) C. \(2\) D. \(3\) Trả lời: \(y’= 4x^3 ⇔ x = 0\). Đạo hàm \(y’ < 0\) với \(x < 0\) và \(y’ > 0\) với \(x > 0\). Vậy hàm số chỉ có \(1\) cực tiểu tại \(x = 0\) và không có điểm cực đại. Vậy chọn đáp án A Câu 3 trang 47 SGK Giải tích 12. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = {{1 - x} \over {1 + x}}\) là A. \(1\) B. 2 C. \(3\) D. \(0\) Trả lời: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = - \infty \). Tiệm cận đứng \(x = -1\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - 1\). Tiệm cận ngang \(y = 1\) Vậy đồ thị có 2 tiệm cận. Chọn đáp án B Câu 4 trang 47 SGK Giải tích 12. Hàm số \(y = {{2x - 5} \over {x + 3}}\) đồng biến trên: A. \(\mathbb R\) B. \((-∞, 3)\) C. \((-3, - ∞)\) D. \(\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 3\} \) Trả lời: Tập xác định của hàm số : \(D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 3\} \) \(y' = {{11} \over {{{(x + 3)}^2}}} > 0\forall x \in D\) Hàm số đồng biến trên tập xác định Chọn đáp án D Câu 5 trang 47 SGK Giải tích 12. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: \(y = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x - 5\) A. Song song với đường thẳng \(x = 1\) B. Song song với trục hoành C. Có hệ số góc vuông D. Có hệ số góc bằng \(-1\) Trả lời: \(y’= x^2– 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1, x = 3\) \(y’’ = 2x -4, y’’(1) = -2, y’’(3) = 2\) Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu có hệ số góc \(y’(3) = 0\). Do đó tiếp tuyến song song với trục hoành. Chọn đáp án B Câu 12 trang 47 SGK Giải tích 12. Cho hàm số: \(f(x) = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}{x^2} - 4x + 6\) a) Giải phương trình \(f’(sin x) = 0\) b) Giải phương trình \(f’’(cos x) = 0\) c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(f’’(x) = 0\). Trả lời: \(f(x) = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}{x^2} - 4x + 6\) \(f’(x) = x^2– x – 4\) \(f’’(x) = 2x – 1\) a) \(\eqalign{ & f'(s{\rm{inx}}) = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}} - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x = }}{{1 \pm \sqrt {17} } \over 2}(1) \cr & Do{{1 - \sqrt {17} } \over 2} < - 1,{{1 + \sqrt {17} } \over 2} > 1 \cr} \) Suy ra (1) vô nghiệm. b) \(\eqalign{ & f''(cosx) = 0 \Leftrightarrow 2cosx - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \cr & \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in\mathbb Z \cr} \) c) Nghiệm của phương trình \(f’’(x) = 0\) là \(x = {1 \over 2}\) Ta có: \(\eqalign{ & f'({1 \over 2}) = {1 \over 4} - {1 \over 2} - 4 = {{ - 17} \over 4} \cr & f({1 \over 2}) = {1 \over 3}.{1 \over 8} - {1 \over 2}.{1 \over 4} - 4.{1 \over 2} + 6 = {{47} \over {12}} \cr} \) Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: \(y = {{ - 17} \over 4}(x - {1 \over 2}) + {{47} \over {12}} \Leftrightarrow y = - {{17} \over 4}x + {{145} \over {24}}\).
