Bài 1 trang 60 sgk giải tích 12. Tìm tập xác định của các hàm số: a) y= \(\left ( 1-x \right )^{\frac{-1}{3}}\); b) y= \(\left ( 2-x^{2} \right )^{\frac{3}{5}}\); c) y= \(\left ( x^{2}-1 \right )^{-2}\); d) y= \(\left ( x^{2}-x-2\right )^{\sqrt{2}}\). Giải a) \(y= \left ( 1-x \right )^{\frac{-1}{3}}\) xác định khi \(1-x > 0 ⇔ x< 1\). Tập xác định là \((-∞; 1)\). b) \(y= \left ( 2-x^{2} \right )^{\frac{3}{5}}\) xác định khi \(2-x^2> 0 ⇔ \) -\(\sqrt{2} < x <\) \(\sqrt{2}\). Tập xác định là (-\(\sqrt{2}\); \(\sqrt{2}\)). c) \(y= \left ( x^{2}-1 \right )^{-2}\) xác định khi \(x^2-1\ne 0 ⇔ x \ne ± 1\). Tập xác định là \(\mathbb R {\rm{\backslash }} {\rm{\{ - 1;1\} }}\) . d) \(y= \left ( x^{2}-x-2\right )^{\sqrt{2}}\) xác định khi \(x^2-x-2 > 0 ⇔ x <-1;x > 2\). Tập xác định là: \((-∞;-1) ∪ (2; +∞)\). Bài 2 trang 61 sgk giải tích 12. Tìm các đạo hàm của các hàm số: a) \(y= \left ( 2x^{2} -x+1\right )^{\frac{1}{3}}\); b) \(y= \left ( 4-x-x^{2}\right )^{\frac{1}{4}}\); c) \(y= \left ( 3x+1\right )^{\frac{\pi }{2}}\); d) \(y= \left ( 5-x\right )^{\sqrt{3}}\). Giải a) \(y^{'}=\frac{1}{3}\left ( 2x^{2} -x+1\right )^{'}\left (2x^{2}-x+1 \right )^{\frac{1}{3}-1}\)= \(\frac{\left ( 4x-1\right )\left ( 2x^{2}-x+1 \right )^{\frac{-2}{3}}}{3}\). b) \(y^{'}=\frac{1}{4}\left ( 4-x-x^{2} \right )^{'}\left ( 4-x-x^{2} \right )^{\frac{1}{4}-1}\)= \(\frac{1}{4}\left ( -2x-1 \right )\left ( 4-x-x^{2} \right )^{\frac{-3}{4}}\). c) \(y^{'}\)= \(\frac{\pi }{2}\left ( 3x+1 \right )^{'}\left ( 3x+1 \right )^{\frac{\pi }{2}-1}\)= \(\frac{3\pi }{2}\left ( 3x+1 \right )^{\frac{\pi }{2}-1}\). d) \(y^{'}\)= \(\sqrt{3}\left ( 5-x \right )^{'}\left ( 5-x \right )^{\sqrt{3}-1}\)= \(-\sqrt{3}\left ( 5-x \right )^{\sqrt{3}-1}\). Bài 3 trang 61 sgk giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) \(y=x^{4\over3}\) ; b) \(y=x^{-3}\). Hướng dẫn giải: a) Hàm số \(y=x^{4\over3}\) Tập xác định: \(\mathbb R\). Sự biến thiên: \(y' = {4 \over 3}{x^{{1 \over 3}}} \) - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\), đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\) - Giới hạn đặc biệt: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \). - Đồ thị hàm số không có tiệm cận. - Bảng biến thiên Đồ thị( hình bên). Đồ thị hàm số qua \((1;1)\), \((2;\root 3 \of {{2^4}} )\). b) \(y = {x^{ - 3}}\) Tập xác định: \(D=\mathbb ℝ \backslash {\rm{\{ }}0\} \). Sự biến thiên: \(y' = - 3{x^{ - 4}} < 0,\forall x \in D\) - Hàm nghich biến trong khoảng \((-∞;0)\) và \((0; +∞)\). - Giới hạn đặc biệt: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0 \cr }\) - Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng, trục hoành làm tiệm cận ngang. - Bảng biến thiên Đồ thị qua \((-1;-1)\), \((1;1)\), \(\left( {2;{1 \over 8}} \right)\), \(\left( {-2;{-1 \over 8}} \right)\). Hàm số đồ thị đã cho là hàm số lẻ nên đối xứng qua gốc tọa độ. Bài 4 trang 61 sgk giải tích 12. Hãy so sánh các số sau với \(1\): a) \(\left ( 4,1 \right )^{2,7}\); b) \(\left ( 0,2 \right )^{0,3}\); c) \(\left ( 0,7 \right )^{3,2}\)4; d) \(\left ( \sqrt{3} \right )^{0,4}\). Giải a) \(\left ( 4,1 \right )^{2,7}\)> \(\left ( 4,1 \right )^{0}= 1\) \(\Rightarrow\) \(\left ( 4,1 \right )^{2,7} > 1\). b) \(\left ( 0,2 \right )^{0,3}\) < \(\left ( 0,2 \right )^{0}\) \(\Rightarrow\) \(\left ( 0,2 \right )^{0,3} < 1\). c) \(\left ( 0,7 \right )^{3,2}\) < \(\left ( 0,7 \right )^{0}\) \(\Rightarrow\) \(\left ( 0,7 \right )^{3,2} < 1\). d) \(\left ( \sqrt{3} \right )^{0,4}\)> \(\left ( \sqrt{3} \right )^{0}\)\(\Rightarrow\) \(\left ( \sqrt{3} \right )^{0,4} > 1\). Bài 5 trang 61 sgk giải tích 12. Hãy so sánh các cặp số sau: a) \(\left ( 3,1 \right )^{7,2}\) và \(\left ( 4,3 \right )^{7,2}\); b) \(\left ( \frac{10}{11} \right )^{2,3}\) và \(\left ( \frac{12}{11} \right )^{2,3}\); c) \(\left ( 0,3 \right )^{0,3}\) và \(\left ( 0,2 \right )^{0,3}\). Giải a) Vì \(7,2 > 0\) và \(3,1 < 4,3\) suy ra \(\left ( 3,1 \right )^{7,2}\) < \(\left ( 4,3 \right )^{7,2}\). b) Vì \(2,3 > 0\) và \(\frac{10}{11}\) < \(\frac{12}{11}\) suy ra \(\left ( \frac{10}{11} \right )^{2,3}\) < \(\left ( \frac{12}{11} \right )^{2,3}\). c) Vì \(0,3 > 0\) và \(0,3 > 0,2\) suy ra \(\left ( 0,3 \right )^{0,3}\) > \(\left ( 0,2 \right )^{0,3}\).
