Bài 1. Vẽ đồ thị của các hàm số: a) \(y = 4^x\); b) \(y= \left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\). Hướng dẫn giải: a) Đồ thị hàm số \(y = 4^x\) Tập xác định: \(\mathbb R\) Sự biến thiên: \(y' = {4^x}\ln 4 > 0,\forall x \in \mathbb R\) - Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) - Giới hạn đặc biệt: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \) Tiệm cận ngang: \(y=0\) - Bảng biến thiên: Đồ thị: Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, cắt trục tung tại các điểm \((0;1)\), đi qua điểm \((1;4)\) và qua các điểm \((\frac{1}{2}; 2)\), \((-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})\), \((-1; \frac{1}{4})\). b) Đồ thị hàm số \(y=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\) Tập xác định: \(\mathbb R\) Sự biến thiên: \(y' = - {\left( {{1 \over 4}} \right)^x}\ln 4 < 0,\forall x \in \mathbb R\) - Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\) - Giới hạn: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 \cr} \) Tiệm cận ngang \(y=0\) - Bảng biến thiên: Đồ thị: Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành, cắt trục tung tại điểm (0; 1), đi qua điểm (1; \(\frac{1}{4}\)) và qua các điểm (\(-\frac{1}{2}\); 2), (-1;4). Bài 2 trang 77 sgk giải tích 12. Tính đạo hàm của các hàm số: a) \(y = 2xe^x +3sin2x\); b) \(y = 5x^2- 2^xcosx\); c) \(y = {{x + 1} \over {{3^x}}}\). Giải: a) \(y' = (2x{e^x})' + 3(\sin 2x)' = 2.{e^x} + 2x({e^x})'\) \(+ {\rm{ }}3.2cos2x\)=\(2\left( {1 + x} \right){e^x} + 6cos2x\) b) \(y' = 10x-({2^x}cosx)'\)\( = 10x-({2^x}ln2.cosx-{2^x}.sinx)\)\(= 10x - {2^x}\left( {ln2.cosx-sinx} \right)\). c) \(\eqalign{ & y' = \left( {x + 1} \right)'. {3^{ - x}} + \left( {x + 1} \right)\left( {{3^{ - x}}} \right)' \cr & = {3^{ - x}} + \left( {x + 1} \right){3^{ - x}}\ln 3,\left( { - x} \right)' \cr & = {3^{ - x}}\left[ {1 - \ln 3\left( {x + 1} \right)} \right] \cr & = {{1 - \left( {{\rm{x}} + 1} \right)\ln 3} \over {{3^x}}} \cr} \) Bài 3 trang 77 sgk giải tích 12. Tìm tập xác định của các hàm số: a) \(y = lo{g_2}\left( {5 - 2x} \right)\) ; b) \(y =lo{g_3}({x^2} - 2x)\) ; c) \(y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\); d) \(y= log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\). Giải: Hàm số \(y = log_{a}\varphi (x)\) ( cơ số a dương, khác 1 đã cho) xác định khi và chỉ khi \(\varphi (x)\) > 0. Vì vậy hàm số \(y= log_{a}\varphi (x)\) có tập xác định là tập nghiệm bất phương trình \(\varphi (x)\) > 0. a) ta có \(5- 2x > 0\) \(\Leftrightarrow x < \frac{5}{2}\). Vậy hàm số \(y = lo{g_2}\left( {5 - 2x} \right)\) có tập xác định là khoảng \(\left( { - \infty ;{5 \over 2}} \right)\). b) Ta có \(x^2-2x > 0 \Leftrightarrow x< 0\) hoặc \(x>2\) . Vậy hàm số \(y =lo{g_3}({x^2} - 2x)\) có tập xác định là khoảng \((-∞; 0) ∪ (2;+∞)\). c) Ta có \( x^2- 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow x< 1\) hoặc \(x> 3\). vậy hàm số \(y= log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\) có tập xác định là \((-∞; 1) ∪ (3;+∞)\). d) Ta có \(\frac{3x+2}{1-x} > 0\) \(\Leftrightarrow (3x+2) (1-x) > 0\) \(\Leftrightarrow\) \(-\frac{2}{3} < x <1\). Vậy hàm số \(y = log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\) có tập xác định là khoảng \(\left( { - {2 \over 3};1} \right)\). Bài 4 trang 78 sgk giải tích 12. Vẽ đồ thị của các hàm số: a) \(y = logx\); b) y = \(log_{\frac{1}{2}}x\). Hướng dẫn giải: a) Đồ thị hàm số \(y = logx\) (cơ số 10) Tập xác định: \(D=(0;+\infty)\) * Sự biến thiên: \(y' = {1 \over {x\ln 10}} > 0,\forall x \in D\) - Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\) - Giới hạn đặc biệt: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \) Hàm số có tiệm cận đứng là: \(x=0\) - Bảng biến thiên: * Đồ thị: Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung) nhận trục tung làm tiệm cận đứng, cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\) và đi qua điểm \((10;1)\), \((\frac{1}{10}; -1)\). b) Đồ thị hàm sốy = \(log_{\frac{1}{2}}x\) ( cơ số nhỏ hơn 1) Tập xác định: \(D=(0;+\infty)\) * Sự biến thiên: \(y' = - {1 \over {x\ln 2}} < 0,\forall x \in D\) - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\) - Giới hạn: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr} \) Hàm số có tiệm cận đứng \(x=0\). - Bảng biến thiên: * Đồ thị: Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung (nhận trục tung làm tiệm cận đứng), cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\) và đi qua điêm \((\frac{1}{2};1)\), điểm phụ \((2;-1)\), \((4.-2)\), \((\frac{1}{4}; 2)\). Bài 5 trang 78 sgk giải tích 12. Tính đạo hàm của các hàm số: a) \(y =3{x^2}-lnx + 4sinx\); b) \(y = log({x^2} + x+1)\); c) \(y= \frac{log_{3}x}{x}\). Giải: Ta sử dụng các công thức \(\left ( lnx \right )^{'}= \frac{1}{x}\) ; \(\left ( log_{a}u\right )^{'}= \frac{u^{'}}{u. lna}\) ; \((sinx)’ = cosx\) và các quy tắc tính đạo hàm của một thương để tính đạo hàm các hàm số đã cho. a) \(y' = 6x - {1 \over x} + 4cosx\). b) \(y'= \frac{\left ( x^{2}+x+ 1 \right )^{'}}{\left ( x^{2}+ x+ 1 \right ).ln10}\) = \(\frac{2x+ 1}{\left ( x^{2}+ x+ 1 \right ).ln10}\). c) \(y'= \frac{\left ( log_{3}x^{} \right )^{'}.x- log_{3}x.1}{x^{2}}\) = \(\frac{\frac{1}{x. ln3}.x-log_{3}x}{x^{2}}\) = \(\frac{1-ln3.log_{3}x}{x^{2}.ln3}\) = \(\frac{1-lnx}{x^{2}. ln3}\).
