Bài 1 trang 84 sgk giải tích 12. Giải các phương trình mũ: a) \({\left( {0,3} \right)^{3x - 2}} = 1\); b) \(\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}\)= 25; c) \(2^{x^{2}-3x+2}\) = 4; d) \({\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 - 2x}} = 2\). Giải: a) \({\left( {0,3} \right)^{3x - 2}} = 1 ={\left( {0,3} \right)^0} \Leftrightarrow 3x - 2=0 ⇔ x = \frac{2}{3}\). b) \(\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}= 25 ⇔{5^{ - x}} = {5^2} \Leftrightarrow x = - 2\). c) \(2^{x^{2}-3x+2} = 4 ⇔ {x^2} - 3x +2=2 \Leftrightarrow x =0;x = 3\). d) \({\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 - 2x}} = 2 ⇔ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x+7+1-2x}= 2\) \(⇔ 2^{x - 8} = 2^{1} \Leftrightarrow x - 8 = 1 \Leftrightarrow x = 9\). Bài 2 trang 84 sgk giải tích 12. Giải các phương trình mũ: a) \({3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108\); b) \({2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28\); c) \({64^x}-{8^x}-56 =0\); d) \({3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}\). Giải: a) Đặt \(t ={3^{2x-1}} > 0\) thì phương trình đã cho trở thành \(t+ 3t = 108 ⇔ t = 27\). Do đó phương trình đã cho tương đương với \({3^{2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1}} = {\rm{ }}27 \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\). b) Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} > {\rm{ }}0\), phương trình đã cho trở thành \(4t + t + 2t = 28 ⇔ t = 4\). Phương trình đã cho tương đương với \({2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}4 \Leftrightarrow {2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}}} = {\rm{ }}{2^{2}} \Leftrightarrow x{\rm{ }} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}3\). c) Đặt \(t = 8^x> 0\). Phương trình đã cho trở thành \({t^2}-{\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}56{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}8;{\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }} - 7\text{ (loại)}\). Vậy phương trình đã cho tương đương với \(8^x= 8 ⇔ x = 1\). d) Chia hai vế phương trình cho \(9^x> 0\) ta được phương trình tương đương \(3.\frac{4^{x}}{9^{x}}\) - 2.\(\frac{6^{x}}{9^{x}}\) = 1 ⇔ 3. \(\left ( \frac{4}{9} \right )^{x}\) - 2.\(\left ( \frac{2}{3} \right )^{x} - 1 = 0\). Đặt \(t = \left ( \frac{2}{3} \right )^{x}\) > 0, phương trình trên trở thành \(3t^2-2t – 1 = 0 ⇔ t = 1\); \(t = -\frac{1}{3}\)( loại). Vậy phương trình tương đương với \(\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}= 1 ⇔ x = 0\). Câu 3 trang 84 SGK Giải tích 12. Giải các phương trình logarit a) \({lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}\) b) \({log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\) c) \({lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}\) d) \({log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}\) Trả lời: a) \({lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}\) (1) TXD: \(D = \left( {{{ - 3} \over 5}, + \infty } \right)\) Khi đó: (1) \(⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = -1\) (loại) Vậy phương trình (1) vô nghiệm. b) \({log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\) TXD: \(D = ({{11} \over 2}, + \infty )\) Khi đó: \(\eqalign{ & (2) \Leftrightarrow \lg {{x - 1} \over {2x - 11}} = \lg 2 \Leftrightarrow {{x - 1} \over {2x - 11}} = 2 \cr & \Rightarrow x - 1 = 4x - 22 \Leftrightarrow x = 7 \cr} \) Ta thấy \(x = 7\) thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 7\) c) \({lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}\) (3) TXD: \((5, +∞)\) Khi đó: (3)\( \Leftrightarrow {\log _2}(x - 5)(x + 2)=3\) \(\Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)(x + 2) = 8 \) \(\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 6 \hfill \cr x = - 3 \hfill \cr} \right.\) Loại \(x = -3\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = 6\) d) \({log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}\) (4) TXD: \(D = (3 + \sqrt 2 , + \infty )\) Khi đó: \(\eqalign{ & (4) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 5 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Loại \(x = 2\) Vậy phương trình (4) có nghiệm là \(x = 5\). Bài 4 trang 85 sgk giải tích 12. Giải các phương trình lôgarit: a) \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\) b) \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\) c) \({\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4{\rm{x}}}}x + {\log _8}x = 13\) Giải a) \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5{\rm{x}} - \log 5{\rm{x}}\hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 5 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr x = - 3;x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 2\) b) \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\) \(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ 4{\rm{x > 0}} \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log {{8{\rm{x}}} \over {4{\rm{x}}}} \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 2 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr x < 2 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = 2\log 2 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr \log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log {2^2} = \log 4 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr {x^2} - 4{\rm{x}} - 1 = 4 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr {x^2} - 4{\rm{x}} - 5 = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr x = - 1;x = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 5\) c) \({\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4}}x + {\log _8}x = 13\) \(\Leftrightarrow {\log _{{2^{{1 \over 2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13\) \(\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + {1 \over 3}{\log _2}x = 13\) \(\Leftrightarrow {{13} \over 3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} = 8\) Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 8\)
