Câu 1 trang 90 SGK Giải tích 12. Nêu các tính chất của lũy thừa với số mũ thực Trả lời: Tính chất của lũy thừa với số mũ thực: cho \(a, b\) là những số thực dương; \(α, β\) là những số thực tùy ý. Khi đó ta có: \(\eqalign{ & {a^\alpha }{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }};{{{a^\alpha }} \over {{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }} \cr & {({a^\alpha })^\beta } = {a^{\alpha .\beta }} \cr & {(a.b)^\alpha } = {a^\alpha }.{a^\beta } \cr & {({a \over b})^\alpha } = {{{a^\alpha }} \over {{a^\beta }}} \cr & \cr} \) Nếu \(a > 1\) thì khi và chỉ khi \(α > β\) Nếu \(a < 1\) thì khi và chỉ khi \(α < β\). Câu 2 trang 90 SGK Giải tích 12. Nêu các tính chất của hàm số lũy thừa Trả lời: Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0, +∞) Bài 3 trang 90 SGK Giải tích 12. Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit Trả lời: Tính chất của hàm số mũ: Câu 4 trang 90 SGK Giải tích 12. Tìm tập xác định của các hàm số: a) \(y = {1 \over {{3^x} - 3}}\) b) \(y = \log {{x - 1} \over {2x - 3}}\) c) \(y = \log \sqrt {{x^2} - x - 12} \) d) \(y = \sqrt {{{25}^x} - {5^x}} \) Giải: a) Xét hàm số : \(y = {1 \over {{3^x} - 3}}\) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \(3^x-3 ≠ 0\) \(⇔ 3^x\ne3 ⇔ x ≠ 1\) Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \(\mathbb R\backslash {\rm{\{ }}1\} \) b) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & {{x - 1} \over {2x - 3}} > 0 \Leftrightarrow (x - 1)(2x - 3) > 0 \cr & \Leftrightarrow x \in ( - \infty ,1) \cup ({3 \over 2}, + \infty ) \cr} \) Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \(( - \infty ,1) \cup ({3 \over 2}, + \infty )\) c) Xét hàm số \(y = \log \sqrt {{x^2} - x - 12} \) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \(x^2- x – 12 > 0 ⇔ x ∈ (-∞, -3) ∪ (4, +∞)\) Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \((-∞, -3) ∪ (4, +∞)\) d) Xét hàm số: \(y = \sqrt {{{25}^x} - {5^x}} \) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \({25^x}-{\rm{ }}{5^x} \ge {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{5^{2x}} \ge {\rm{ }}{5^x}⇔ 2x ≥ x\) \(⇔ x ≥ 0\) Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \([0, +∞)\). Bài 5 trang 90 SGK Giải tích 12. Biết \({4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} = {\rm{ }}23\). Hãy tính: \({2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}\) Giải \({{{\left( {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}} \right)}^2} = {({2^x})^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} + {({2^{ - x}})^2}={\rm{ }}{4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}25}\) Do đó \(|{2^x} + {2^{ - x}}| = 5\) Mà \({2^x} + {2^{ - x}} > 0\) \(⇒ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}} = {\rm{ }}5}\). Câu 6 trang 90 SGK Giải tích 12. Cho \({\log _a}b = 3,{\log _a}c = - 2\) . Hãy tính \(log_ax\) với: a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c \) b) \(x = {{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}\) Giải: Logarit hóa biểu thức đã cho và sử dụng giả thiết ta được: a) \(\eqalign{ & lo{g_a}x = {\rm{ }}3 + 2lo{g_a}b + {1 \over 2}{\log _a}c \cr & = 3 + 6 - 1 = 8 \cr} \) b) \(\eqalign{ & {\log _a}x = 4 + {1 \over 3}{\log _a}b - 3{\log _a}c \cr & = 4 + 1 + 6 = 11 \cr} \). Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12. Giải các phương trình sau: a) \({3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\) b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\) d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\) e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\) g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\) Giải: a) \(\eqalign{ & {3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}} \cr & \Leftrightarrow {3^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = {5^{x + 4}} - {3.5^{x + 3}} \cr & \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}} \cr & \Leftrightarrow {({3 \over 5})^{x + 3}} = 1 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \cr} \) b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Đặt \(t = 5^x\) (\(t > 0\)) \(⇔ x = log_5 t\). Phương trình đã cho trở thành: \(t^2– 6t + 5 = 0 ⇔ t ∈ {\rm{\{ }}1;5\} \) Do đó, phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 0, x = 1\) c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\) Chia phương trình cho \(16^x\) và đặt \(t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\) ta được phương trình: \(4t^2+ t – 3 = 0 ⇔ (t+1)(4t-3) = 0\) Phương trình bậc hai này chỉ có một nghiệm dương \(t = {3 \over 4}\) . Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : \(x = {\log _{{3 \over 4}}}{3 \over 4} = 1\) d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\) Điều kiện: \(x > 1\) \(\eqalign{ & lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr & \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x - 1) - 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _7}x = 0 \hfill \cr {\log _7}(x - 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr (x - 1) = 7 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\) Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \(x = 8\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 8\) e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\) Điều kiện : \(x > 0\) Ta có: \(\eqalign{ & {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {3^3} \cr & \Leftrightarrow x = 27 \cr} \) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 27\) g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\) Ta có: \(\eqalign{ & \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0,x \ne 1 \hfill \cr {x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow x = 4 \cr} \) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 4\) Câu 8 trang 90 SGK Giải tích 12. Giải các bất phương trình a) \({2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\) b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\) c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1\) d) \({\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\) Giải a) \({2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\) Ta có: \(⇔ {2^{2x - 3}}({2^2} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}1){\rm{ }} \ge {\rm{ }}448\) \(⇔ {2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}64{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}6\) \(⇔ x ≥ 4,5\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \([4,5; +∞)\). b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\) Đặt \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho trở thành: \(\eqalign{ & t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t < - 1 \hfill \cr t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr} \) Do \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho tương đương với: \({\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1\) c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1\) Ta có: \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1 \) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < {\log _3}3\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\log _{{1 \over 2}}}({x^2} - 1) > 0 = {\log _{{1 \over 2}}}1 \hfill \cr lo{g_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1) > 3 = {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 8} \hfill \cr} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 0 < {x^2} - 1 < 1 \hfill \cr {x^2} - 1 > {1 \over 8} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} < 2 \hfill \cr {x^2} > {9 \over 8} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ |x| < \sqrt 2 \hfill \cr |x| > {3 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {3 \over {2\sqrt 2 }} < |x|<\sqrt 2 \) Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\left\{ {x \in R:{3 \over {2\sqrt {2 < } }}<|x| < \sqrt 2 } \right\}\) d) \({\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\) Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_{0,2}}x\). Bất phương trình trở thành \({t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} < {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}3\) Suy ra: (1) ⇔ \(\eqalign{ & 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2} \cr & \Leftrightarrow {1 \over {125}} < x < {1 \over {25}} \cr}\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(({1 \over {125}},{1 \over {25}})\) Câu 1 trang 91 SGK Giải tích 12. Tập xác định của hàm số \(y = \log {{x - 2} \over {1 - x}}\) là: (A) \((-∞, 1) ∪ (2, + ∞)\) B) \((1, 2)\) (C) \(\mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} \) D) R\{1, 2} Giải Với \(x = 1000\) thì \({{x - 2} \over {1 - x}} = {{998} \over { - 999}} < 0\) , hàm số không xác định. Vì vậy (A), (C), (D) là sai. Do đó chọn (B) Câu 2 trang 91 SGK Giải tích 12. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây: (A). \(ln x > 0 ⇔ x > 1\) (B) \(log_2x< 0 ⇔ 0< x < 1\) (C) \({\log _{{1 \over 3}}}a > {\log _{{1 \over 3}}}b \Leftrightarrow a > b > 0\) (D) \({\log _{{1 \over 2}}}a = {\log _{{1 \over 2}}}b \Leftrightarrow a = b > 0\) Giải: Vì hàm số logarit đồng biến (nghịch biến) khi cơ số lớn hơn (nhỏ hơn) 1. Do đó chọn (C) Câu 3 trang 91 SGK Giải tích 12. Cho hàm số \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}ln{\rm{ }}(4x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2})\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây: (A) \(f’ (2) = 1\) (B). \(f’(2) = 0\) (C) \(f’(5) = 1,2\) (D).\(f’(-1) = -1,2\) Giải: Vì hàm số không xác định tại \(x = 5, x = -1\) nên (C) và (D) sai. Sử dụng máy tính cầm tay tính f’(2) ta được kết quả bằng 0. Vậy chọn (B). Câu 4 trang 91 SGK Giải tích 12. Cho hàm số \(g(x) = lo{g_{{1 \over 2}}}({x^2} - 5x + 7)\) . Nghiệm của bất phương trình là g(x) > 0 là: (A). x > 3 (B) x < 2 hoặc x > 3 (C) 2 < x < 3 (D). x < 2 Trả lời: Vì \(g(0) = {\log _{{1 \over 2}}}7 < 0\) nên (B) và (D) sai. Mặt khác \(g(4) = {\log _{{1 \over 2}}}3 < 0\) nên (A) sai Do đó chọn (C) Câu 5 trang 91 SGK Giải tích 12. Trong các hàm số: \(f(x) = \ln {1 \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }},g(x) = \ln {{1 + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {\cos x}},h(x) = \ln {1 \over {\cos x}}\) Hàm số có đạo hàm là \({1 \over {\cos x}}\) ? Trả lời: (A) f(x) (B) g(x) (C) h(x) (D) g(x) và h(x) Trả lời: Vì \(\eqalign{ & f(x) = ln{1 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = - \ln \sin x \cr & h(x) = - {\mathop{\rm lncosx}\nolimits} \cr}\) Nên \(\eqalign{ & f'(x) = - {{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})'} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = - \cot x \cr & h'(x) = tanx \cr} \) Do đó, (A), (C) và(D) sai. Chọn (B) Câu 6 trang 91 SGK Giải tích 12. Bài 6. Số nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} - 7x + 5}} = 1\) là: (A). 0 (B). 1 (C). 2 (D). 3 Trả lời: Vì \(1 = 2^0\) nên phương trình đã cho tương đương với: \(2x^2- 7x + 5= 0\) Phương trình này có hai nghiệm \(x = 1, x = 2, 5\). Vậy chọn (C) Câu 7 trang 91 SGK Giải tích 12. Nghiệm của phương trình \({10^{log9}} = {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}5\) là A. \(0\) B. \(x = {1 \over 2}\) (C). \({5 \over 8}\) (D). \({7 \over 4}\) Trả lời: Vì \({10^{log9}} = {\rm{ }}9\) nên phương trình đã cho là \(9 = 8x + 5\). Phương trình này có nghiệm là \(x = {1 \over 2}\) Chọn (B)