Giải tích 12 cơ bản - Chương 2 - Ôn tập Chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 1 trang 90 SGK Giải tích 12. Nêu các tính chất của lũy thừa với số mũ thực

    Trả lời:

    Tính chất của lũy thừa với số mũ thực:

    cho \(a, b\) là những số thực dương; \(α, β\) là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:

    \(\eqalign{
    & {a^\alpha }{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }};{{{a^\alpha }} \over {{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }} \cr
    & {({a^\alpha })^\beta } = {a^{\alpha .\beta }} \cr
    & {(a.b)^\alpha } = {a^\alpha }.{a^\beta } \cr
    & {({a \over b})^\alpha } = {{{a^\alpha }} \over {{a^\beta }}} \cr
    & \cr} \)

    Nếu \(a > 1\) thì khi và chỉ khi \(α > β\)

    Nếu \(a < 1\) thì khi và chỉ khi \(α < β\).

    Câu 2 trang 90 SGK Giải tích 12. Nêu các tính chất của hàm số lũy thừa

    Trả lời:

    Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0, +∞)

    [​IMG]

    Bài 3 trang 90 SGK Giải tích 12. Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit

    Trả lời:

    Tính chất của hàm số mũ:

    [​IMG]

    Câu 4 trang 90 SGK Giải tích 12. Tìm tập xác định của các hàm số:

    a) \(y = {1 \over {{3^x} - 3}}\)

    b) \(y = \log {{x - 1} \over {2x - 3}}\)

    c) \(y = \log \sqrt {{x^2} - x - 12} \)

    d) \(y = \sqrt {{{25}^x} - {5^x}} \)

    Giải:

    a) Xét hàm số : \(y = {1 \over {{3^x} - 3}}\)

    Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

    \(3^x-3 ≠ 0\) \(⇔ 3^x\ne3 ⇔ x ≠ 1\)

    Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \(\mathbb R\backslash {\rm{\{ }}1\} \)

    b) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

    \(\eqalign{
    & {{x - 1} \over {2x - 3}} > 0 \Leftrightarrow (x - 1)(2x - 3) > 0 \cr
    & \Leftrightarrow x \in ( - \infty ,1) \cup ({3 \over 2}, + \infty ) \cr} \)

    Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \(( - \infty ,1) \cup ({3 \over 2}, + \infty )\)

    c) Xét hàm số \(y = \log \sqrt {{x^2} - x - 12} \)

    Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

    \(x^2- x – 12 > 0 ⇔ x ∈ (-∞, -3) ∪ (4, +∞)\)

    Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \((-∞, -3) ∪ (4, +∞)\)

    d) Xét hàm số: \(y = \sqrt {{{25}^x} - {5^x}} \)

    Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

    \({25^x}-{\rm{ }}{5^x} \ge {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{5^{2x}} \ge {\rm{ }}{5^x}⇔ 2x ≥ x\)

    \(⇔ x ≥ 0\)

    Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \([0, +∞)\).


    Bài 5 trang 90 SGK Giải tích 12. Biết \({4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} = {\rm{ }}23\).

    Hãy tính: \({2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}\)

    Giải

    \({{{\left( {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}} \right)}^2} = {({2^x})^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} + {({2^{ - x}})^2}={\rm{ }}{4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}25}\)

    Do đó \(|{2^x} + {2^{ - x}}| = 5\)

    Mà \({2^x} + {2^{ - x}} > 0\)

    \(⇒ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}} = {\rm{ }}5}\).


    Câu 6 trang 90 SGK Giải tích 12. Cho \({\log _a}b = 3,{\log _a}c = - 2\) . Hãy tính \(log_ax\) với:

    a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c \)

    b) \(x = {{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}\)

    Giải:

    Logarit hóa biểu thức đã cho và sử dụng giả thiết ta được:

    a)

    \(\eqalign{
    & lo{g_a}x = {\rm{ }}3 + 2lo{g_a}b + {1 \over 2}{\log _a}c \cr
    & = 3 + 6 - 1 = 8 \cr} \)

    b)

    \(\eqalign{
    & {\log _a}x = 4 + {1 \over 3}{\log _a}b - 3{\log _a}c \cr
    & = 4 + 1 + 6 = 11 \cr} \).


    Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12. Giải các phương trình sau:

    a) \({3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\)

    b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

    c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

    d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

    e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

    g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

    Giải:

    a)

    \(\eqalign{
    & {3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}} \cr
    & \Leftrightarrow {3^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = {5^{x + 4}} - {3.5^{x + 3}} \cr
    & \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}} \cr
    & \Leftrightarrow {({3 \over 5})^{x + 3}} = 1 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \cr} \)

    b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

    Đặt \(t = 5^x\) (\(t > 0\)) \(⇔ x = log_5 t\).

    Phương trình đã cho trở thành:

    \(t^2– 6t + 5 = 0 ⇔ t ∈ {\rm{\{ }}1;5\} \)

    Do đó, phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 0, x = 1\)

    c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

    Chia phương trình cho \(16^x\) và đặt \(t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\) ta được phương trình:

    \(4t^2+ t – 3 = 0 ⇔ (t+1)(4t-3) = 0\)

    Phương trình bậc hai này chỉ có một nghiệm dương \(t = {3 \over 4}\) .

    Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : \(x = {\log _{{3 \over 4}}}{3 \over 4} = 1\)

    d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

    Điều kiện: \(x > 1\)

    \(\eqalign{
    & lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr
    & \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x - 1) - 1) = 0 \cr
    & \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    {\log _7}x = 0 \hfill \cr
    {\log _7}(x - 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = 1 \hfill \cr
    (x - 1) = 7 \hfill \cr} \right. \cr
    & \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = 1 \hfill \cr
    x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\)

    Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \(x = 8\)

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 8\)

    e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

    Điều kiện : \(x > 0\)

    Ta có:

    \(\eqalign{
    & {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr
    & \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr
    & \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {3^3} \cr
    & \Leftrightarrow x = 27 \cr} \)

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 27\)

    g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

    Ta có:

    \(\eqalign{
    & \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr
    & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x > 0,x \ne 1 \hfill \cr
    {x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
    & \Leftrightarrow x = 4 \cr} \)

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 4\)

    Câu 8 trang 90 SGK Giải tích 12. Giải các bất phương trình

    a) \({2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\)

    b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\)

    c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1\)

    d) \({\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\)

    Giải

    a) \({2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\)

    Ta có:

    \(⇔ {2^{2x - 3}}({2^2} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}1){\rm{ }} \ge {\rm{ }}448\)

    \(⇔ {2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}64{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}6\)

    \(⇔ x ≥ 4,5\)

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \([4,5; +∞)\).

    b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\)

    Đặt \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho trở thành:

    \(\eqalign{
    & t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr
    & \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    t < - 1 \hfill \cr
    t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

    Do \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho tương đương với:

    \({\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1\)

    c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1\)

    Ta có:

    \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1 \)
    \( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < {\log _3}3\)

    \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {\log _{{1 \over 2}}}({x^2} - 1) > 0 = {\log _{{1 \over 2}}}1 \hfill \cr
    lo{g_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1) > 3 = {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 8} \hfill \cr} \right. \)
    \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    0 < {x^2} - 1 < 1 \hfill \cr
    {x^2} - 1 > {1 \over 8} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {x^2} < 2 \hfill \cr
    {x^2} > {9 \over 8} \hfill \cr} \right. \)
    \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    |x| < \sqrt 2 \hfill \cr
    |x| > {3 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {3 \over {2\sqrt 2 }} < |x|<\sqrt 2 \)

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\left\{ {x \in R:{3 \over {2\sqrt {2 < } }}<|x| < \sqrt 2 } \right\}\)

    d) \({\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\)

    Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_{0,2}}x\). Bất phương trình trở thành

    \({t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} < {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}3\)

    Suy ra: (1) ⇔

    \(\eqalign{
    & 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2} \cr
    & \Leftrightarrow {1 \over {125}} < x < {1 \over {25}} \cr}\)

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(({1 \over {125}},{1 \over {25}})\)


    Câu 1 trang 91 SGK Giải tích 12. Tập xác định của hàm số \(y = \log {{x - 2} \over {1 - x}}\) là:

    (A) \((-∞, 1) ∪ (2, + ∞)\) B) \((1, 2)\)

    (C) \(\mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} \) D) R\{1, 2}

    Giải

    Với \(x = 1000\) thì \({{x - 2} \over {1 - x}} = {{998} \over { - 999}} < 0\) , hàm số không xác định.

    Vì vậy (A), (C), (D) là sai.

    Do đó chọn (B)


    Câu 2 trang 91 SGK Giải tích 12. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:


    (A). \(ln x > 0 ⇔ x > 1\)

    (B) \(log_2x< 0 ⇔ 0< x < 1\)

    (C) \({\log _{{1 \over 3}}}a > {\log _{{1 \over 3}}}b \Leftrightarrow a > b > 0\)

    (D) \({\log _{{1 \over 2}}}a = {\log _{{1 \over 2}}}b \Leftrightarrow a = b > 0\)

    Giải:

    Vì hàm số logarit đồng biến (nghịch biến) khi cơ số lớn hơn (nhỏ hơn) 1.

    Do đó chọn (C)


    Câu 3 trang 91 SGK Giải tích 12. Cho hàm số \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}ln{\rm{ }}(4x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2})\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:

    (A) \(f’ (2) = 1\) (B). \(f’(2) = 0\)

    (C) \(f’(5) = 1,2\) (D).\(f’(-1) = -1,2\)

    Giải:

    Vì hàm số không xác định tại \(x = 5, x = -1\) nên (C) và (D) sai.

    Sử dụng máy tính cầm tay tính f’(2) ta được kết quả bằng 0.

    Vậy chọn (B).


    Câu 4 trang 91 SGK Giải tích 12. Cho hàm số \(g(x) = lo{g_{{1 \over 2}}}({x^2} - 5x + 7)\) . Nghiệm của bất phương trình là g(x) > 0 là:


    (A). x > 3 (B) x < 2 hoặc x > 3

    (C) 2 < x < 3 (D). x < 2

    Trả lời:

    Vì \(g(0) = {\log _{{1 \over 2}}}7 < 0\) nên (B) và (D) sai.

    Mặt khác \(g(4) = {\log _{{1 \over 2}}}3 < 0\) nên (A) sai

    Do đó chọn (C)


    Câu 5 trang 91 SGK Giải tích 12. Trong các hàm số:


    \(f(x) = \ln {1 \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }},g(x) = \ln {{1 + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {\cos x}},h(x) = \ln {1 \over {\cos x}}\)

    Hàm số có đạo hàm là \({1 \over {\cos x}}\) ?

    Trả lời:

    (A) f(x) (B) g(x) (C) h(x) (D) g(x) và h(x)

    Trả lời:



    \(\eqalign{
    & f(x) = ln{1 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = - \ln \sin x \cr
    & h(x) = - {\mathop{\rm lncosx}\nolimits} \cr}\)

    Nên

    \(\eqalign{
    & f'(x) = - {{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})'} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = - \cot x \cr
    & h'(x) = tanx \cr} \)

    Do đó, (A), (C) và(D) sai. Chọn (B)


    Câu 6 trang 91 SGK Giải tích 12. Bài 6. Số nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} - 7x + 5}} = 1\) là:

    (A). 0 (B). 1

    (C). 2 (D). 3

    Trả lời:

    Vì \(1 = 2^0\) nên phương trình đã cho tương đương với:

    \(2x^2- 7x + 5= 0\)

    Phương trình này có hai nghiệm \(x = 1, x = 2, 5\).

    Vậy chọn (C)


    Câu 7 trang 91 SGK Giải tích 12. Nghiệm của phương trình \({10^{log9}} = {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}5\) là

    A. \(0\) B. \(x = {1 \over 2}\) (C). \({5 \over 8}\) (D). \({7 \over 4}\)

    Trả lời:

    Vì \({10^{log9}} = {\rm{ }}9\) nên phương trình đã cho là \(9 = 8x + 5\).

    Phương trình này có nghiệm là \(x = {1 \over 2}\)

    Chọn (B)