Giải tích 12 cơ bản - Chương 4 - Bài 1. Số phức

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 133 sgk giải tích 12. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z\), biết:

    a) \(z = 1 - πi\); b) \(z = \sqrt 2 - i\);

    c) \(z = 2\sqrt 2\); d) \(z = -7i\).

    Hướng dẫn giải:

    a) Phần thực: \(1\), phần ảo \(π\);

    b) Phần thực: \(\sqrt2\), phần ảo \(-1\);

    c) Phần thực \(2\sqrt2\), phần ảo \(0\);

    d) Phần thực \(0\), phần ảo \(-7\).


    Bài 2 trang 133 sgk giải tích 12. Tìm các số thực \(x\) và \(y\), biết:

    a) \((3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i\);

    b) \((1 - 2x) - i\sqrt 3 = \sqrt 5 + (1 - 3y)i\);

    c) \((2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i\).

    Hướng dẫn giải:

    Từ định nghĩa bằng nhau của hai số phức, ta có:

    a) \( \left\{\begin{matrix} 3x-2=x+1\\ 2y+1=-(y-5) \end{matrix}\right.\) ⇔ \( \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{4}{3} \end{matrix}\right.\);

    b) \( \left\{\begin{matrix} 1-2x=\sqrt{5}\\ 1-3y=-\sqrt{3} \end{matrix}\right.\) ⇔ \( \left\{\begin{matrix} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ y=\frac{1+\sqrt{3}}{3} \end{matrix}\right.\);

    c) \( \left\{\begin{matrix} 2x+y=x-2y+3\\ 2y-x=y+2x+1 \end{matrix}\right.\) ⇔ \( \left\{\begin{matrix} x+3y =3\\ -3x+y=1 \end{matrix}\right.\)

    ⇔ \( \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=1 \end{matrix}\right.\).


    Bài 3 trang 134 sgk giải tích 12.
    Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

    a) Phần thực của \(z\) bằng \(-2\);

    b) Phần ảo của \(z\) bằng \(3\);

    c) Phần thực của \(z\) thuộc khoảng \((-1; 2)\);

    d) Phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([1; 3]\);

    e) Phần thực và phần ảo của \(z\) đều thuộc đoạn \([-2; 2]\).

    Hướng dẫn giải:

    Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).

    a) Phần thực của \(z\) bằng \(-2\), tức là \(x = -2, y \in R\).

    Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(x = -2\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\)

    b) Ta có \(x \in R\) và \(y = 3\)

    Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(y = 3\) trên mặt phẳng \(Oxy\).

    c) Ta có \(x \in (-1;2)\) và \(y \in \mathbb R\).

    Vậy tập hợp số phức \(z\) cần tìm là các điểm nằm giữa hai đường thẳng \(x = -1\) và \(x = 2\) trên mặt phẳng \(Oxy\)

    d) Ta có \(x \in \mathbb R\) và \(y \in [1;3]\)

    Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường thẳng \(y = 1\) và \(y = 3\) (kể cả các điểm trên hai đường đó).

    e) Ta có \(x \in [-2; 2]\) và \(y \in [-2; 2]\)

    Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần mặt phẳng thuộc hình vuông (kể cả cạnh) được giới hạn bởi bốn đường thẳng \(x=2;x=-2;y=2;y=-2\).


    Bài 4 trang 134 sgk giải tích 12. Tính \(|z|\) với:

    a) \(z = -2 + i\sqrt3\); b) \(z = \sqrt2 - 3i\);

    c) \(z = -5\); d) \(z = i\sqrt3\).

    Hướng dẫn giải:

    a) \(|z| = \sqrt{(-2)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{7}\);

    b) \(|z| =\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(-3)^{2}} = \sqrt11\);

    c) \(|z| = \sqrt{(-5)^{2}} = 5 \);

    d) \(|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^{2}}= \sqrt3\).


    Bài 5 trang 134 sgk giải tích 12. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thoả mãn điều kiện:

    a) \(|z| = 1\); b) \(|z| ≤ 1\);

    c) \(1 < |z| ≤ 2\); d) \(|z| = 1\) và phần ảo của \(z\) bằng \(1\).

    Hướng dẫn giải:

    Giả sử \(z = x + yi, (x,y \in \mathbb R)\), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).

    a) Ta có \(|z| = 1 ⇔ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 ⇔ {x^2} + {y^2} = 1\).

    Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(O\), bán kính bằng \(1\)

    b) Ta có \(|z| ≤ 1 ⇔ \sqrt {{x^2} + {y^2}} ≤ 1 ⇔ {x^2} + {y^2}≤ 1\).

    Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là hình tròn tâm \(O\), bán kính bằng \(1\) (kể cả các điểm trên đường tròn)

    c) Ta có \(1 < |z| ≤ 2 ⇔ 1 < \sqrt {{x^2} + {y^2}} ≤ 2 ⇔ 1 < {x^2} + {y^2}≤ 4\).

    Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là phần nằm giữa đường tròn tâm \(O\), bán kính bằng \(1\) (không kể điểm trên đường tròn này) và đường tròn tâm \(O\), bán kính bằng \(2\) (kể cả các điểm trên đường tròn này)

    d) Ta có \(|z| = 1 ⇔ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 ⇔ {x^2} + {y^2}= 1\) và phần ảo của \(z\) bằng \(1\) tức \(y = 1\). Suy ra \(x = 0\) và \(y = 1\)

    Vậy tập hợp các điểm cần tìm là điểm \(A(0;1)\).


    Bài 6 trang 134 sgk giải tích 12. Tìm \(\overline z\), biết:

    a) \(z = 1 - i\sqrt2\); b) \(z = -\sqrt2 + i\sqrt3\).

    c) \(z = 5\); d) \(z = 7i\).

    Hướng dẫn giải:

    a) \(\overline z= 1 + i\sqrt 2\); b) \(\overline z = -\sqrt2 - i\sqrt3\);

    c) \(\overline z= 5\); d) \(\overline z= -7i\).