Bài 1 trang 140 sgk giải tích 12. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: \(-7; -8; -12; -20; -121\) Hướng dẫn giải: \(± i\sqrt7\) ; \(± i2\sqrt2\) ; \(± i2\sqrt3\); \(± i2\sqrt5\) ; \(± 11i\). Bài 2 trang 140 sgk giải tích 12. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) \( - 3{z^2} +2z - 1 = 0\); b) \(7{z^2} + {\rm{ }}3z + 2 = 0\); c) \(5{z^2} -7z+ 11= 0\) Hướng dẫn giải: a) Ta có \(∆' = 1 - 3 = -2\). Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\)= \( \frac{1\pm i\sqrt{2}}{3}\) b) Ta có \(∆ = 9 - 56 = -47\). Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\) = \( \frac{-3\pm i\sqrt{47}}{14}\); c) Ta có \(∆ = 49 - 4.5.11 = -171\). Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\) = \( \frac{7\pm i\sqrt{171}}{10}\) Bài 3 trang 140 sgk giải tích 12. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) \({z^4} + {z^2}-6= 0\); b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0\) Hướng dẫn giải: a) Đặt \(Z = z^2\) , ta được phương trình \(Z^2+ Z – 6 = 0\) Phương trình này có hai nghiệm là: \(Z_1= 2, Z_2= -3\) Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± \sqrt2\) và \(± i\sqrt3\). b) Đặt \(Z = z^2\) , ta được phương trình \(Z^2+ 7Z + 10 = 0\) Phương trình này có hai nghiệm là: \(Z_1= -5, Z_2= -2\) Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± i\sqrt2\) và \(± i\sqrt5\). Bài 4 trang 140 sgk giải tích 12. Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và\({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\). Hướng dẫn giải: Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức. +) Trường hợp \(∆ ≥ 0\) ta đã biết kết quả theo định lí vi-ét. +) Trường hợp \(∆ < 0\), từ công thức nghiệm \({z_1} = \frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\), \({z_2}= \frac{-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\) với \(|∆| = 4ac - b^2\) \({z_1} + {z_2}\) = \( \frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}=-\frac{b}{a}\) \({z_1} {z_2} = \frac{(-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |})(-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |})}{2a.2a}=\frac{b^{2}+|\bigtriangleup |}{4a^{2}}=\frac{b^{2}+4ac-b^{2}}{4a^{2}}=\frac{c}{a}\) Bài 5 trang 140 sgk giải tích 12. Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm Hướng dẫn giải: Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm là \((x - z)(x - \overline{z})= 0\) hay \(x^2 -(z + \overline{z})x + z \overline{z}= 0\). Nếu \(z = a + bi\) thì \(z + \overline{z}= 2a\), \(z\overline{z} = a^2 +b^2\) Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)
