Bài 11 trang 16 và 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x - 1\); b) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 2x - 10\) c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\); d) \(f\left( x \right) = \left| x \right|\left( {x + 2} \right);\) e) \(f\left( x \right) = {{{x^5}} \over 5} - {{{x^3}} \over 3} + 2\); f) \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 3} \over {x - 1}}\) Giải a) TXĐ: \(D=\mathbb R\) \(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = - 3 \hfill \cr} \right.;f\left( { - 1} \right) = - {7 \over 3};\,f\left( { - 3} \right) = - 1\) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 3\), giá trị cực đại của hàm số là \(f\left( { - 3} \right) = - 1\) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 1\), giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( { - 1} \right) = - {7 \over 3}\) b) TXĐ: \(D=\mathbb R\) \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2 > 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) (vì \(a > 0,\Delta ' < 0\)) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) , không có cực trị. c) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\) \(f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\,\,\,\,;f\left( 1 \right) = 2 \hfill \cr x = - 1;f\left( { - 1} \right) = - 2 \hfill \cr} \right.\) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = - 2\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = 2\). d) TXĐ: \(D=\mathbb R\) Hàm số liên tục trên \(\mathbb R\) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr - x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,x < 0\, \hfill \cr} \right.\) Với \(x > 0:\,f'\left( x \right) = 2x + 2 > 0\) với mọi \(x>0\) Với \(x < 0:\,f'\left( x \right) = - 2x - 2\,;\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) \(f\left( { - 1} \right) = 1\) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\), giá trị cực tiểu \(f\left( 0 \right) = 0\) e) TXĐ: \(D=\mathbb R\) \(f'\left( x \right) = {x^4} - {x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0;f\left( 0 \right) = 2 \hfill \cr x = - 1;f\left( { - 1} \right) = {{32} \over {15}} \hfill \cr x = 1;f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}} \hfill \cr} \right.\) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = {{32} \over {15}}\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}}\) f) TXĐ: \(D = {\bf{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\) \(y'\left( x \right) = {{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 3} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2x} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0;f\left( 0 \right) = - 3 \hfill \cr x = 2;f\left( 2 \right) = 1 \hfill \cr} \right.\) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) = - 3\) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\), giá trị cực tiểu \(f\left( 2 \right) = 1\) Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) \(y = x\sqrt {4 - {x^2}} \) b) \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \) c) \(y = x - \sin 2x + 2\) d) \(y = 3 - 2\cos x - \cos 2x\) Giải a) Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\) \(y' = \sqrt {4 - {x^2}} + x.{{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - {x^2} - {x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - 2{x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \) \(y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - \sqrt 2 \); giá trị cực tiểu \(y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2\) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = \sqrt 2 \); giá trị cực đại \(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\) b) TXĐ: \(D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]\) \(y' = {{ - x} \over {\sqrt {8 - {x^2}} }};\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \) Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \) c) Áp dụng quy tắc 2. TXĐ: \(D=\mathbb R\) \(\,y' = 1 - 2\cos 2x;y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb {Z}}\) \(y'' = 4\sin 2x\) * Ta có: \(y''\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right) = - 2\sqrt 3 < 0\) Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = - {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại \(y\left( { - {\pi \over 6} + k\pi } \right) = - {\pi \over 6} + k\pi + {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\) \(y''\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {{\pi \over 3}} \right) = 2\sqrt 3 > 0\). Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực tiểu: \(y\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = {\pi \over 6} + k\pi - {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\) d) Áp dụng quy tắc 2. \(\,y' = 2\sin x + 2\sin 2x = 2\sin x\left( {1 + 2\cos x} \right);\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin x = 0 \hfill \cr \cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi ,k \in {\mathbb{Z}} \hfill \cr} \right.\) \(y'' = 2\cos x + 4\cos 2x.\) \(y''\left( {k\pi } \right) = 2\cos k\pi + 4\cos 2k\pi = 2\cos k\pi + 4 > 0\) với mọi \(k \in {\mathbb{Z}}\) Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm \(x = k\pi \), giá trị cực tiểu: \(y\left( {k\pi } \right) = 3 - 2\cos k\pi - \cos 2k\pi = 2 - 2\cos k\pi \) \(y''\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 2\cos {{2\pi } \over 3} + 4\cos {{4\pi } \over 3} = 6\cos {{2\pi } \over 3} = - 3 < 0.\) Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm \(x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại: \(y\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 3 - 2\cos {{2\pi } \over 3} - \cos {{4\pi } \over 3} = {9 \over 2}\). Bài 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tìm các hệ số \(a, b, c, d\) của hàm số: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1.\) Giải Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\) \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) nên \(f'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\) \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow d = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}\) \(f\) đạt cực đại tại điểm \(x=1\) nên \(f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 3a + 2b = 0\) \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow a + b = 1\) Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ 3a + 2b = 0 \hfill \cr a + b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = - 2 \hfill \cr b = 3 \hfill \cr} \right.\) Thử lại với \(a=-2, b=3, c=d=0\) ta được: \(f\left( x \right) = - 2{x^3} + 3{x^2};\,\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = - 6{x^2} + 6x;\,\,\,\,\,\,f''\left( x \right) = - 12x + 6\) \(f''\left( 0 \right) = 6 > 0\) : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\); \(f\left( 0 \right) = 0;f''\left( 1 \right) = - 6 < 0\) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1;f\left( 1 \right) = 1\) Vậy \(a = - 2;b = 3;c = d = 0\). Bài 14 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Xác định các hệ số \(a,b, c\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đạt cực trị bằng \(0\) tại điểm \(x=-2\) và đồ thị của hàm số đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\). Giải \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\) \(f\) đạt cực trị tại điểm \(x=-2\) nên \(f'\left( { - 2} \right) = 0\) \( \Rightarrow \)\(\,12 - 4a + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) \(f\left( { - 2} \right) = 0 \Rightarrow - 8 + 4a - 2b + c = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\) nên: \(f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 1 + a + b + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ 4a - b = 12 \hfill \cr 4a - 2b + c = 8 \hfill \cr a + b + c = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 3 \hfill \cr b = 0 \hfill \cr c = - 4 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(a=3, b=0, c=-4\). Bài 15 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), hàm số: \(y = {{{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1} \over {x - m}}\) luôn có cực đại và cực tiểu Giải TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\backslash \left\{ m \right\}\) \(\eqalign{ & y' = {{\left[ {2x - m\left( {m + 1} \right)} \right]\left( {x - m} \right) - \left[ {{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1} \right]} \over {{{\left( {x - m} \right)}^2}}} \cr & \,\,\,\,\, = {{{x^2} - 2mx + {m^2} - 1} \over {{{\left( {x - m} \right)}^2}}},x \ne m \cr} \) \(\eqalign{ & y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} = 1 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = m - 1;f\left( {m - 1} \right) = - {m^2} + m - 2 \hfill \cr x = m + 1;f\left( {m + 1} \right) = - {m^2} + m + 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Với mọi giá trị của \(m\), hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=m-1\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x=m+1\)
