Bài 1 trang 75 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? a) Với số thực a và các số nguyên m, n, ta có: \({a^m}.{a^n} = {a^{m.n}};{{{a^m}} \over {{a^n}}} = {a^{m - n}}\) b) Với hai số thực a, b cùng khác 0 và số nguyên n, ta có: \({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}.{b^n};{\left( {{a \over b}} \right)^n} = {{{a^n}} \over {{b^n}}}\) c) Với hai số thực a, b thỏa mãn 0<ad) Với số thực a khác 0 và hai số nguyên m, n, ta có: Nếu m>n thì \({a^m} > {a^n}\). Trả lời a) Sai. b) Đúng. c) Sai ( chẳng hạn 0<2 {2^{ - 3}}\)). d) Sai ( chẳng hạn 3>2 nhưng \({\left( {{1 \over 2}} \right)^3} < {\left( {{1 \over 2}} \right)^2}\). Bài 2 trang 75 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Xét khẳng định: “Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s, ta có \({\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{rs}}\)”. Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng? (A) a bất kì (B) \(a \ne 0\) (C) a>0 (D) a<1. Trả lời ( C) đúng. Bài 3 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản: \({7^{ - 1}}.14;{4 \over {{3^{ - 2}}}};{\left( {{4 \over 5}} \right)^{ - 2}};{{{{\left( { - 18} \right)}^2}.5} \over {{{15}^2}.3}}\) Giải \({7^{ - 1}}.14 = {{14} \over 7} = 2\); \({4 \over {{3^{ - 2}}}} = {4.3^2} = 36\); \({\left( {{4 \over 5}} \right)^{ - 2}} = {\left( {{5 \over 4}} \right)^2} = {{25} \over {16}}\); \({{{{\left( { - 18} \right)}^2}.5} \over {{{15}^2}.3}} = {{{{18}^2}.5} \over {{5^2}{{.3}^3}}} = {{{2^2}{{.5.3}^4}} \over {{5^2}{{.3}^3}}} = {{{2^2}.3} \over 5} = {{12} \over 5}\) Bài 4 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Thực hiện phép tính: a) \({81^{ - 0,75}} + {\left( {{1 \over {125}}} \right)^{{{ - 1} \over 3}}} - {\left( {{1 \over {32}}} \right)^{{{ - 3} \over 5}}};\) b) \(0,{001^{{{ - 1} \over 3}}} - {\left( { - 2} \right)^{ - 2}}{.64^{{2 \over 3}}} - {8^{ - 1{1 \over 3}}} + {\left( {{9^o}} \right)^2};\) c) \({27^{{2 \over 3}}} + {\left( {{1 \over {16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}}\) d) \({\left( { - 0,5} \right)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2{1 \over 4}} \right)^{ - 1{1 \over 2}}} + 19{\left( { - 3} \right)^{ - 3}}\) Giải a) \({81^{ - 0,75}} + {\left( {{1 \over {125}}} \right)^{{{ - 1} \over 3}}} - {\left( {{1 \over {32}}} \right)^{{{ - 3} \over 5}}} = {\left( {{3^4}} \right)^{ {{ - 3} \over 4}}} + {\left( {{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^3}} \right)^{{{ - 1} \over 3}}} - {\left( {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^5}} \right)^{{{ - 3} \over 5}}}\) \(\, = {\left( 3 \right)^{ - 3}} + {\left( {{1 \over 5}} \right)^{ - 1}} - {\left( {{1 \over 2}} \right)^{ - 3}} = {1 \over {27}} + 5 - 8 = {1 \over {27}} - 3 = - {{80} \over {27}}\) b) \(0,{001^{{{ - 1} \over 3}}} - {\left( { - 2} \right)^{ - 2}}{.64^{{2 \over 3}}} - {8^{ - 1{1 \over 3}}} + {\left( {{9^o}} \right)^2} = {\left( {{{10}^{ - 3}}} \right)^{ - {1 \over 3}}} - {2^{ - 2}}.{\left( {{2^6}} \right)^{{2 \over 3}}} - {\left( {{2^3}} \right)^{ - {4 \over 3}}} + 1\) \( = 10 - {2^2} - {2^{ - 4}} + 1 = 7 - {1 \over {16}} = {{111} \over {16}}\) c) \({27^{{2 \over 3}}} + {\left( {{1 \over {16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}} = {\left( {{3^3}} \right)^{{2 \over 3}}} + {\left( {{2^{ - 4}}} \right)^{ - {3 \over 4}}} - {\left( {{5^2}} \right)^{{1 \over 2}}} = {3^2} + {2^3} - 5 = 12\) d) \({\left( { - 0,5} \right)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2{1 \over 4}} \right)^{ - 1{1 \over 2}}} + 19{\left( { - 3} \right)^{ - 3}} = {\left( {{{\left( { - 2} \right)}^{ - 1}}} \right)^{ - 4}} - {\left( {{5^4}} \right)^{{1 \over 4}}} - {\left( {{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \right)^{ - {3 \over 2}}} + {{19} \over { - 27}}\) \( = {2^4} - 5 - {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - 3}} - {{19} \over {27}} = 11 - {8 \over {27}} - {{19} \over {27}} = 10.\) Bài 5 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Đơn giản biểu thức ( với a, b là những số dương) a) \({{{{\left( {\root 4 \of {{a^3}{b^2}} } \right)}^4}} \over {\root 3 \of {\sqrt {{a^{12}}{b^6}} } }}\) b) \({{{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{7 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{4 \over 3}}}}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}} - {a^{{5 \over 3}}}} \over {{a^{{2 \over 3}}} + {a^{ - {1 \over 3}}}}}\) Giải a) \({{{{\left( {\root 4 \of {{a^3}{b^2}} } \right)}^4}} \over {\root 3 \of {\sqrt {{a^{12}}{b^6}} } }} = {{{a^3}{b^2}} \over {\root 6 \of {{a^{12}}{b^6}} }} = {{{a^3}{b^2}} \over {{a^2}b}} = ab\) b) \({{{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{7 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{4 \over 3}}}}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}} - {a^{{5 \over 3}}}} \over {{a^{{2 \over 3}}} + {a^{ - {1 \over 3}}}}} = {{{a^{{1 \over 3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)} \over {{a^{{1 \over 3}}}\left( {1-a} \right)}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)} \over {{a^{ - {1 \over 3}}}\left( {a + 1} \right)}} = \left( {1 + a} \right) - \left( {1 - a} \right) = 2a.\) Bài 6 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. So sánh các số a) \(\sqrt 2 \) và \(\root 3 \of 3 \); b) \(\sqrt 3 + \root 3 \of {30} \) và \(\root 3 \of {63} \); c) \(\root 3 \of 7 + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10} + \root 3 \of {28} \); Giải a) Ta có \({\left( {\sqrt 2 } \right)^6} = {2^3} = 8\); \({\left( {\root 3 \of 3 } \right)^6} = {3^2} = 9\) Do 9>8 nên ta có \({\left( {\sqrt 2 } \right)^6}\) < \({\left( {\root 3 \of 3 } \right)^6}\), suy ra \(\sqrt 2 \) < \(\root 3 \of 3 \). b) \(\sqrt 3 + \root 3 \of {30} > 1 + \root 3 \of {27} = 4 = \root 3 \of {64} > \root 3 \of {63} \). c) \(\root 3 \of 7 + \sqrt {15} < 2 + 4 = 3 + 3 < \sqrt {10} + \root 3 \of {28} \). Bài 7 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh \(\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } = 2\) Giải Đặt \(x = \root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } \) Ta có: \({x^3} = \left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right)^3\) \( = 7 + 5\sqrt 2 + 7 - 5\sqrt 2 + 3\root 3 \of {{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}} .\root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } + 3\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } .\root 3 \of {{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}} \) \( = 14 - 3\left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right) = 14 - 3x\). Từ đó suy ra: \({x^3} + 3x - 14 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) ( vì \({x^2} + 2x + 7 > 0\)) Vậy \(\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } = 2\) Bài 8 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Đơn giản biểu thức: a) \({{\sqrt a - \sqrt b } \over {\root 4 \of a - \root 4 \of b }} - {{\sqrt a + \root 4 \of {ab} } \over {\root 4 \of a + \root 4 \of b }}\); b) \({{a - b} \over {\root 3 \of a - \root 3 \of b }} - {{a + b} \over {\root 3 \of a + \root 3 \of b }}\); c) \(\left( {{{a + b} \over {\root 3 \of a + \root 3 \of b }} - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right)^2};\) d) \({{a - 1} \over {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 2}}}}}.{{\sqrt a + \root 4 \of a } \over {\sqrt a + 1}}.{a^{{1 \over 4}}} + 1.\) Giải a) \({{\sqrt a - \sqrt b } \over {\root 4 \of a - \root 4 \of b }} - {{\sqrt a + \root 4 \of {ab} } \over {\root 4 \of a + \root 4 \of b }} = {{\left( {\root 4 \of a + \root 4 \of b } \right)\left( {\root 4 \of a - \root 4 \of b } \right)} \over {\root 4 \of a - \root 4 \of b }} - {{\root 4 \of a \left( {\root 4 \of a + \root 4 \of b } \right)} \over {\root 4 \of a + \root 4 \of b }}\) \( = \root 4 \of a + \root 4 \of b - \root 4 \of a = \root 4 \of b \) b) \({{a - b} \over {\root 3 \of a - \root 3 \of b }} - {{a + b} \over {\root 3 \of a + \root 3 \of b }} = {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} - {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3}} \over {\root 3 \of a - \root 3 \of b }} - {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3}} \over {\root 3 \of a + \root 3 \of b }}\) \( = \root 3 \of {{a^2}} + \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} - \left( {\root 3 \of {{a^2}} - \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right) = 2\root 3 \of {ab} \) c) \(\left( {{{a + b} \over {\root 3 \of a + \root 3 \of b }} - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right)^2} = \left( {\root 3 \of {{a^2}} - \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right)^2}\) \( = \left( {\root 3 \of {{a^2}} - 2\root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right):{\left( {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right)^2} = {\left( {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right)^2}:{\left( {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right)^2} = 1\) d) \({{a - 1} \over {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 2}}}}}.{{\sqrt a + \root 4 \of a } \over {\sqrt a + 1}}.{a^{{1 \over 4}}} + 1. = {{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\root 4 \of a + 1} \right)}}.{{\root 4 \of a \left( {\root 4 \of a + 1} \right)} \over {\left( {\sqrt a + 1} \right)}}.\root 4 \of a + 1\) \( = \sqrt a - 1 + 1 = \sqrt a \). Bài 9 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh: \(\root n \of {ab} = \root n \of a .\root n \of b \) ( \(a \ge 0,b \ge 0\), n nguyên dương) Giải Theo tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có: \({\left( {\root n \of a .\root n \of b \,} \right)^n} = {\left( {\root n \of a } \right)^n}.{\left( {\root n \of b } \right)^n} = ab\) Do đó theo định nghĩa căn bậc n của một số, ta có \(\root n \of {ab} = \root n \of a .\root n \of b \). Bài 10 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh: a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = 2;\) b) \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } = 3\) Giải a) Ta có \(4 \pm 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3 + 1 = {\left( {\sqrt 3 \pm 1} \right)^2}\) nên \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \left( {\sqrt 3 + 1} \right) - \left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 2\) b) Đặt \(x = \root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } \) Ta có \({x^3} = {\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right)^3}\) \( = 9 + \sqrt {80} + 9 - \sqrt {80} + 3\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } .\root 3 \of {9 - \sqrt {80} } .x\) \( = 18 + 3\root 3 \of {81 - 80} .x = 18 + 3x\). Do đó: \({x^3} - 3x - 18 = 0\,\,\left( * \right)\) Mà \({x^3} - 3x - 18 = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên từ phương trình đã cho suy ra x=3 (vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\)) Vậy \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } = 3\) Bài 11 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. So sánh các số a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - {5 \over 6}}}\) và \(\root 3 \of {{3^{ - 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} } \) b) \({3^{600}}\) và \({5^{400}}\) c) \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ - {5 \over 7}}}\)và \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}}\) d) \({7^{30}}\) và \({4^{40}}\) Giải a) Ta có: \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - {5 \over 6}}} = {3^{ - {5 \over {12}}}}\) và \(\root 3 \of {{3^{ - 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} } = \root 3 \of {{3^{ - 1}}{1 \over {{3^{{1 \over 4}}}}}} = \root 3 \of {{3^{ - 1}}{3^{ - {1 \over 4}}}} = \root 3 \of {{3^{ - {5 \over 4}}}} = {3^{ - {5 \over {12}}}}\). Vậy \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - {5 \over 6}}}\) = \(\root 3 \of {{3^{ - 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} } \) b) Ta có: \({3^{600}} = {\left( {{3^3}} \right)^{200}} = {27^{200}}\) và \({5^{400}} = {\left( {{5^2}} \right)^{200}} = {25^{200}}\). Vậy \({3^{600}}\) > \({5^{400}}\) c) Ta có: \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ - {5 \over 7}}} = {2^{{5 \over 7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}} = {2^{{1 \over 2}}}{.2^{{3 \over {14}}}} = {2^{{1 \over 2} + {3 \over {14}}}} = {2^{{5 \over 7}}}\). Vậy \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ - {5 \over 7}}}\)= \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}}\). d) Ta có: \({7^{30}} = {\left( {{7^3}} \right)^{10}} = {343^{10}}\); \({4^{40}} = {\left( {{4^4}} \right)^{10}} = {256^{10}}\). Vậy \({7^{30}}\) >\({4^{40}}\)
