Bài 42 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tìm sai lầm trong lập luận sau: Ta có \(\ln {e^2} = 2\ln e = 2.1 = 2\) và \(\ln \left( {2e} \right) = {\mathop{\rm lne}\nolimits} + lne = 1 + 1 = 2\). Từ đó suy ra \({e^2} = 2e\), mà \(e \ne 0\) nên \(e = 2!\) Giải Sai từ \(\ln \left( {2e} \right) = \ln \left( {e + e} \right) = \ln e + \ln e\) Không có kết quả: \(\ln \left( {x + y} \right) = {\mathop{\rm lnx}\nolimits} + {\mathop{\rm lny}\nolimits} \). (Sai) Bài 43 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Biểu diễn các số sau đây theo a = ln2,b = ln5: \(\ln 500;\ln {{16} \over {25}};ln6,25;ln{1 \over 2} + \ln {2 \over 3} + ... + \ln {{98} \over {99}} + \ln {{99} \over {100}}\). Giải \(\ln 500 = \ln \left( {{2^2}{{.5}^3}} \right) = 2\ln 2 + 3\ln 5 = 2a + 3b;\) \(\ln {{16} \over {25}} = \ln \left( {{2^4}{{.5}^{ - 2}}} \right) = 4\ln 2 - 2\ln 5 = 4a - 2b;\) \(\ln6,25 = \ln \left( {{5^2}.0,{5^2}} \right) = 2\ln 5 + 2\ln 0,5 = 2\ln 5 - 2\ln 2 = 2b - 2a;\) \(\ln{1 \over 2} + \ln {2 \over 3} + ... + \ln {{98} \over {99}} + \ln {{99} \over {100}} = \ln 1 - \ln 2 + \ln 2 - \ln 3 + ... + \ln99 - \ln100\) \( = - \ln100 = - \ln\left( {{2^2}{{.5}^2}} \right) = - 2\ln 2 - 2\ln 5 = - 2a - 2b\). Bài 44 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh: \({7 \over {16}}\ln \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) - 4\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) - {{25} \over 8}\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 0\) Giải Ta có \({7 \over {16}}\ln \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) - 4\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) - {{25} \over 8}\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\) \( = {7 \over {16}}\ln {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} - 4\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) - {{25} \over 8}\ln {1 \over {\sqrt 2 + 1}}\) \( = {7 \over 8}\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) - 4\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) + {{25} \over 8}\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) = 0\) Bài 45 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là ti lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi? Giải Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này. Từ giả thiết \(S = A.{e^{rt}}\) suy ra \(r = {1 \over 5}\left( {\ln {{300} \over {100}}} \right) = {{\ln 300 - \ln 100} \over 5}\) \(r = {{\ln 300 - \ln 100} \over 5} = {{\ln 3} \over 5} \approx 0,2197\) Tức là tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là 21,97% mỗi giờ. Sau 10 giờ, từ 100 con vi khuẩn sẽ có: \(100.{e^{10.0,2197}} \approx 900\)(con). Từ 100 con, để có 200 con thì thời gian cần thiết là \(t = {1 \over r}\ln {S \over A} = {{\ln S - \ln A} \over r}\) \(t \approx {{\ln 200 - \ln 100} \over {0,2197}} = {{\ln 2} \over {0,2197}} \approx 3,15\) (giờ) = 3 giờ 9 phút. Bài 46 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutôni \(P{u^{239}}\) là 24360 năm (tức là một lượng \(P{u^{239}}\) sau 24360 năm phân hủy chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam \(P{u^{239}}\) sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam? Giải Trước tiên, ta tìm tỉ lệ phân hủy hàng năm của \(P{u^{239}}\). \(P{u^{239}}\) có chu kì bán hủy là 24360 năm , do đó ta có: \(5 = 10.{e^{r.24360}}\). Suy ra: \(r = {{\ln 5 - \ln 10} \over {24360}} \approx - 2,{84543.10^{ - 5}} \approx - 0,000028\) Vậy sự phân hủy của \(P{u^{239}}\) được tính theo công thức: \(S = A.{e^{ - 0,000028t}}\) Trong đó S và A tính bằng gam, t tính bằng năm. Theo bài ra, ta có: \(1 = 10.{e^{ - 0,000028t}}\) Suy ra: \(t = {{ - \ln 10} \over { - 0,000028}} \approx 82235\) (năm). Vậy sau khoảng 82235 năm thì 10 gam chất \(P{u^{239}}\) sẽ phân hủy còn 1 gam.
