Giải tích 12 nâng cao - Chương 2 - Bài 5. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 47 trang 111 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut (Clausius) và Cla-pay-rông (Clapeyron) đã thấy rằng áp lực P của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt là mmHg) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín được tính theo công thức: P = a x \({10^{{k \over {t + 273}}}}\), trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Cho biết \(k \approx - 2258,624\).
    a) Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 100oC thì áp lực của hơi nước là 760 mmHg (tính chính xác đến hàng phần chục).
    b) Tính áp lực của hơi nước khi nhiệt độ của nước là \({40^0}C\) (tính chính xác đến hàng phần chục).
    [​IMG]
    Giải
    a) Khi nhiệt độ của nước là t = \({100^0}C\) thì P = 760. Do đó ta có phương trình (ẩn a) \(760 = a{.10^{{{ - 2258,624} \over {373}}}}\).
    Từ đó ta có \(a \approx 86318884,4\).
    b) \(P = 86318884,{4.10^{{{ - 2258,624} \over {313}}}} \approx 52,5\) mmHg.



    Bài 48 trang 112 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Tìm các giới hạn sau:
    a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{e^2} - {e^{3x + 2}}} \over x}\)
    b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{e^{2x}} - {e^{5x}}} \over x}\)
    Giải
    a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{e^2} - {e^{3x + 2}}} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{e^2}\left( {1 - {3^{3x}}} \right)} \over x} = - 3{e^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{e^{3x}} - 1} \over {3x}} = - 3{e^2}\).
    b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{e^{2x}} - {e^{5x}}} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{{e^{2x}} - 1} \over x} - {{{e^{5x}} - 1} \over x}} \right) = 2 - 5 = - 3\).



    Bài 49 trang 112 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Tính đạo hàm của các hàm số sau:
    a) \(y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}\);
    b) \(y = {x^2}.\sqrt {{e^{4x}} + 1} ;\)
    c) \(y = {1 \over 2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right);\)
    d) \(y = {1 \over 2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right);\)
    Giải
    a) \({y'} = {e^{2x}} + \left( {x - 1} \right).2{e^{2x}} = \left( {2x - 1} \right).{e^{2x}}\)
    b) \({y'} = 2x\sqrt {{e^{4x}} + 1} + {x^2}.{{4{e^{4x}}} \over {2.\sqrt {{e^{4x}} + 1} }} = {{2x\left[ {\left( {x + 1} \right){e^{4x}} + 1} \right]} \over {\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\)
    c) \({y'} = {1 \over 2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\)
    d) \({y'} = {1 \over 2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\)



    Bài 50 trang 112 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên R?
    a) \(y = {\left( {{\pi \over 3}} \right)^x}\);
    b) \(y = {\left( {{3 \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}\);
    Giải
    a) Hàm số \(y = {\left( {{\pi \over 3}} \right)^x}\) đồng biến vì \({\pi \over 3} > 1\).
    b) Hàm số \(y = {\left( {{3 \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}\) nghịch biến vì \({3 \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 }} = 3\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) < 1\).




    Bài 51 trang 112 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
    a) \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\);
    b) \(y = {\left( {{2 \over 3}} \right)^x}\);
    Giải
    a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
    \(a = \sqrt 2 > 1\) hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb R\)
    Bảng giá trị:
    [​IMG]
    Đồ thị:
    [​IMG]
    b) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
    \(a = {2 \over 3} < 0\) hàm số \(y = {\left( {{2 \over 3}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)
    Bảng giá trị:
    [​IMG]
    Đồ thị:
    [​IMG]



    Bài 52 trang 112 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Sử dụng công thức \(L\left( {dB} \right) = 10\log {I \over {{I_0}}}\) (xem bài đọc thêm “Lôgarit trong một số công thức đo lường “ tr.99), hãy tính gần đúng, chính xác đến hàng đơn vị, độ lớn dB của âm thanh có tỉ số \({I \over {{I_0}}}\) cho bảng sau rồi điền vào cột còn trống:
    STTLoại âm thanh \({I \over {{I_0}}}\)Độ lớn (L)
    1Ngưỡng nghe1
    2Nhạc êm dịu400
    3Nhạc mạnh phát ra từ loa6,8 x 108
    4Tiếng máy bay phản lực2,3 x 1012
    5Ngưỡng đau tai1013
    Giải
    STTLoại âm thanh \({I \over {{I_0}}}\)Độ lớn (L)
    1Ngưỡng nghe10 dB
    2Nhạc êm dịu40036 dB
    3Nhạc mạnh phát ra từ loa6,8 x 10888 dB
    4Tiếng máy bay phản lực2,3 x 1012124 dB
    5Ngưỡng đau tai1013130 dB



    Bài 53 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Tìm các giới hạn sau:
    a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + 3x} \right)} \over x}\)
    b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over x}\)
    Giải
    a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + 3x} \right)} \over x} = 3.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + 3x} \right)} \over {3x}} = 3\).
    b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over {{x^2}}} = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over {{x^2}}} = 0.1 = 0\).



    Bài 54 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
    a) \(y = \left( {3x - 2} \right){\ln ^2}x\);
    b) \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}\);
    c) \(y = x.\ln {1 \over {1 + x}}\);
    d) \(y = {{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \over x}\).
    Giải
    a) \({y'} = 3{\ln ^2}x + \left( {3x - 2} \right).{{2\ln x} \over x} = 3{\ln ^2}x + {{2\left( {3x - 2} \right)\ln x} \over x}\).
    b) \({y'} = {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}.\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .{{2x} \over {{x^2}}} = {{x\ln {x^2}} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} + {{2\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}\).
    c) \({y'} = \ln {1 \over {1 + x}} + x.{{ - {1 \over {{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}} \over {{1 \over {1 + x}}}} = - \ln \left( {1 + x} \right) - {x \over {x + 1}}\).
    d) \({y'} = {{{{2x} \over {{x^2} + 1}}.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{x^2}}} = {{2} \over {{x^2} + 1}} - {{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{x^2}}}\).



    Bài 55 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của nó?
    a) \(y = {\log _{{2 \over e}}}x\);
    b) \(y = {\log _a}x\) với \(a = {1 \over {3\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}\).
    Giải
    a) Vì \({2 \over e} < 1\) nên hàm số \(y = {\log _{{2 \over e}}}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
    b) Vì \(a = {1 \over {3\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}} = {{\sqrt 3 + \sqrt 2 } \over 3} > 1\) nên hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).



    Bài 56 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
    a) \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\); b) \(y = {\log _{{2 \over 3}}}x\);
    Giải
    a) TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
    \(a = \sqrt 2 > 1\) nên hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
    Bảng giá trị:
    [​IMG]
    [​IMG]
    b) TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
    \(a = {2 \over 3} < 1\) nên hàm số \(y = {\log _{{2 \over 3}}}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
    Bảng giá trị:
    [​IMG]
    [​IMG]