Bài 63 trang 123 SGK giải tích 12 nâng cao. Giải các phương trình sau: \(\eqalign{ & a)\,{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = 2 - \sqrt 3 ; \cr & c)\,{2.3^{x + 1}} - {6.3^{x - 1}} - {3^x} = 9; \cr} \) \(\eqalign{ & b)\,{2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4; \cr & d){\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x. \cr} \) giải a) Ta có \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1\) nên \(2 - \sqrt 3 = {1 \over {2 + \sqrt 3 }} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}\) Do đó \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow 2x = - 1 \Leftrightarrow x = - {1 \over 2}\) Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\) b) \({2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x + 2}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(S = \left\{ {0;3} \right\}\) c) \(\eqalign{ & {2.3^{x + 1}} - {6.3^{x - 1}} - {3^x} = 9 \Leftrightarrow {6.3^x} - {6 \over 3}{.3^x} - {3^x} = 9 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {3.3^x} = 9 \Leftrightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1 \cr} \) vậy \(S = \left\{ 1 \right\}\) d) \(\eqalign{ & {\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {3^{2 + x}} \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {9.3^x} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {8.3^x} = 8 \Leftrightarrow {3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0 \cr} \) Vậy \(S = \left\{ 0 \right\}\) Bài 64 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao. Giải các phương trình sau: a) \({\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1\) b) \({\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1\) giải a) Điều kiện: \(x\left( {x - 1} \right) > 0\) \({\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \text{ thỏa mãn } \right.\) Vậy \(S = \left\{ { - 1;2} \right\}\) b) Điều kiện: \(x > 1\) \(\eqalign{ & {\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1(\text{ loại }) \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = \left\{ 2 \right\}\) Bài 65 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao. Trên mặt mỗi chiếc radio đều có các vạch chia để người sử dụng dẽ dàng chọn đúng sóng Radio cần tìm. Biết rằng vạch chia ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một khoảng d (cm) thì ứng tần số \(F = k{a^{d\,}}\,\,\left( {kHz} \right)\), trong đó k và a là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng trên trái ứng với tần số 53 kHz, vạch tận cùng bên phải ứng với tần số 160 kHz, và hai vạch này cách nhau 12 cm. a) Hãy tính k và a (tính a chính xác đến hàng phần nghìn). b) Giả sử đã cho F, hãy giải phương trình \(F = k{a^{d\,}}\)với ẩn d. c) Áp dụng kết quả của b), hãy điền vào ô trống trong bảng sau (kết quả tính chính xác đến hàng phần trăm). F536080100120140160dGiải a) Ta có với d = 0 thì F = 53 do đó \(53 = k.{a^o} \Rightarrow k = 53\) Với d = 12 thì F =160 đo đó \(160 = k.{a^{12}} = 53.{a^{12}} \Rightarrow a = \root {12} \of {{{160} \over {53}}} \approx 1,096\) b) \(k{a^d} = F \Leftrightarrow {a^d} = {F \over k} \Leftrightarrow d = {\log _a}\left( {\log F - \log k} \right) \approx 25,119\log F - 43,312\) c) F536080100120140160d01,354,496,938,9110,6012 Bài 66 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao. Giải các phương trình sau: a) \({2^{x + 1}}{.5^x} = 200\); b) \(0,{125.4^{2x - 3}} = {\left( {4\sqrt 2 } \right)^x}\) giải a) \({2^{x + 1}}{.5^x} = 200 \Leftrightarrow {2.2^x}{.5^x} = 200 \Leftrightarrow {10^x} = 100 \Leftrightarrow x = 2\) Vậy \(S = \left\{ 2 \right\}\) b) \(0,{125.4^{2x - 3}} = {\left( {4\sqrt 2 } \right)^x} \Leftrightarrow {1 \over 8}{.2^{2\left( {2x - 3} \right)}} = {\left( {{2^{{5 \over 2}}}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{4x - 6 - 3}} = {2^{{{5x} \over 2}}}\) \(\,\,\,\, \Leftrightarrow 4x - 9 = {{5x} \over 2} \Leftrightarrow 3x = 18 \Leftrightarrow x = 6\) Vậy \(S = \left\{ 6 \right\}\) Bài 67 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao. a) \({\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{{1 \over 2}}}\sqrt 3 \); b) \({\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8\) giải a) Điều kiện: x > 0. \({\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{{1 \over 2}}}\sqrt 3 \Leftrightarrow {\log _2}x + {\log _{{2^2}}}x = {\log _{{2^{ - 1}}}}\sqrt 3 \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {\log _2}x + {1 \over 2}{\log _2}x = - {\log _2}\sqrt 3 \Leftrightarrow {3 \over 2}{\log _2}x = {\log _2}{1 \over {\sqrt 3 }} \cr & \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}{\left( {{1 \over {\sqrt 3 }}} \right)^{{2 \over 3}}} \Leftrightarrow x = {1 \over {\root 3 \of 3 }} \cr} \) Vậy \(S = \left\{ {1 \over{\root 3 \of 3 }} \right\}\) b) Điều kiện: \(x > 0\). \(\eqalign{ & {\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8 \Leftrightarrow {\log _{{3^{{1 \over 2}}}}}x.{\log _3}x.{\log _{{3^2}}}x = 8 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {{1 \over 2}}}.{1 \over 2}.{\left( {{{\log }_3}x} \right)^3} = 8 \Leftrightarrow {\log _3}x = 2 \Leftrightarrow x = {3^2} = 9 \cr} \) Vậy \(S = \left\{ 9 \right\}\) Bài 68 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao. a) \({3^{x + 1}} + {18.3^{ - x}} = 29\); b) \({27^x} + {12^x} = {2.8^x}\) (Hướng dẫn: Chia cả hai vế cho \({2^{3x}}\) rồi đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^x}\)) Giải a) Đặt \(t = {3^x}\,\left( {t > 0} \right)\) Phương trình đã cho trở thành: \(3t + {{18} \over t} = 29 \Leftrightarrow 3{t^2} - 29t + 18 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 9 \hfill \cr t = {2 \over 3} \hfill \cr} \right.\) \(\eqalign{ & *\,\,t = 9 \Leftrightarrow {3^x} = 9 \Leftrightarrow x = 2 \cr & *\,\,t = {2 \over 3} \Leftrightarrow {3^x} = {2 \over 3} \Leftrightarrow x = {\log _3}{2 \over 3} = {\log _3}2 - 1 \cr} \) Vậy \(S = \left\{ {2;{{\log }_3}2 - 1} \right\}\) b) Chia hai vế cho \({2^{3x}}\) ta được: \({{{3^{3x}}} \over {{2^{3x}}}} + {{{{12}^x}} \over {{8^x}}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{3x}} + {\left( {{3 \over 2}} \right)^x} = 2\) Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có: \({t^3} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\) Vậy \(S = \left\{ 0 \right\}\) Bài 69 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao. Giải các phương trình sau: \(\eqalign{ & a)\,{\log ^2}{x^3} - 20\log \sqrt x + 1 = 0 \cr & c)\,{\log _{9x}}27 - {\log _{3x}}243 = 0 \cr} \) \(b)\,{{{{\log }_2}x} \over {{{\log }_4}2x}} = {{{{\log }_8}4x} \over {{{\log }_{16}}8x}}\) Giải a) Điều kiện: \(x> 0\) \(\eqalign{ & \,{\log ^2}{x^3} - 20\log \sqrt x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {3\log x} \right)^2} - 10\log x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow 9{\log ^2}x - 10\log x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \log x = 1 \hfill \cr \log x = {1 \over 9} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 10 \hfill \cr x = {10^{{1 \over {9}}}} = \root 9 \of {10} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = \left\{ {10;\root 9 \of {10} } \right\}\) b) \(\,{{{{\log }_2}x} \over {{{\log }_4}2x}} = {{{{\log }_8}4x} \over {{{\log }_{16}}8x}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Điều kiện: \(x > 0\), \(x \ne {1 \over 2},\,x \ne {1 \over 8}\) Ta có: \({\log _4}2x = {{{{\log }_2}2x} \over {{{\log }_2}4}} = {{1 + {{\log }_2}x} \over 2}\) \(\eqalign{ & {\log _8}4x = {{{{\log }_2}4x} \over {{{\log }_2}8}} = {{2 + {{\log }_2}x} \over 3} \cr & {\log _{16}}8x = {{{{\log }_2}8x} \over {{{\log }_2}16}} = {{3 + {{\log }_2}x} \over 4} \cr} \) Đặt \(t = {\log _2}x\) thì (1) thành: \({{2t} \over {1 + t}} = {{4\left( {2 + t} \right)} \over {3\left( {3 + t} \right)}} \Leftrightarrow 6t\left( {3 + t} \right) = 4\left( {1 + t} \right)\left( {2 + t} \right)\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 18t + 6{t^2} = 8 + 12t + 4{t^2} \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 4 \hfill \cr} \right. \cr & \left[ \matrix{ {\log _2}x = 1 \hfill \cr {\log _2}x = - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr x = {2^{ - 4}} = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = \left\{ {2;{1 \over {16}}} \right\}\) c) Điều kiện: \(x > 0\); \(x \ne {1 \over 9},\,x \ne {1 \over 3}\) Ta có: \({\log _{9x}}27 - {\log _{3x}}3 + {\log _9}243 = 0 \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_{27}}9x}} - {1 \over {{{\log }_3}3x}} + {\log _{{3^2}}}{3^5} = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_{{3^3}}}9x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + {5 \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {{{\log }_3}9x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + {5 \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {2 + {{\log }_3}x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + {5 \over 2} = 0 \cr} \) Đặt \({\log _3}x = t\) Ta có phương trình: \({3 \over {t + 2}} - {1 \over {t + 1}} + {5 \over 2} = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 6\left( {t + 1} \right) - 2\left( {t + 2} \right) + 5\left( {t + 2} \right)\left( {t + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = - 0,8 \hfill \cr t = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _3}x = - 0,8 \hfill \cr {\log _3}x = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {3^{ - 0,8}} \hfill \cr x = {3^{ - 3}} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = \left\{ {{3^{ - 3}};{3^{ - 0,8}}} \right\}\) Bài 70 trang 125 SGK giải tích 12 nâng cao. Giải các phương trình sau: \(\eqalign{ & a)\,{3^{4x}} = {4^{3x}} \cr & b)\,{3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x \cr} \) \(\eqalign{ & c)\,{3^x}{.8^{{x \over {x + 1}}}} = 36 \cr & d)\,{x^6}{.5^{ - {{\log }_x}5}} = {5^{ - 5}} \cr} \) Giải \(\eqalign{ & a)\,{3^{4x}} = {4^{3x}} \Leftrightarrow {4^x}{\log _3}3 = {3^x}{\log _3}4 \Leftrightarrow {{{4^x}} \over {{3^x}}} = {\log _3}4 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {{4 \over 3}} \right)^x} = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = {\log _{{4 \over 3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right) \cr} \) Vậy \(S = \left\{ {{{\log }_{{4 \over 3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)} \right\}\) b) Điều kiện: \(x > 0\) \(\eqalign{ & {3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x \Leftrightarrow {{{3^2}} \over {{3^{{{\log }_3}x}}}} = 81x \cr & \Leftrightarrow {9 \over x} = 81x \Leftrightarrow {x^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\,\,\left( {\text{ vì }\,x > 0} \right) \cr} \) Vậy \(S = \left\{ {{1 \over 3}} \right\}\) c) Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được: \(x{\log _3}3 + {x \over {x + 1}}{\log _3}8 = x + {{3x} \over {x + 1}}{\log _3}2 = 2 + 2.{\log _3}2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} + x + 3\left( {{{\log }_3}2} \right)x = 2x + 2 + 2(x+1)\left( {{{\log }_3}2} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{{\log }_3}2 - 1} \right)x - 2.{\log _3}2 -2= 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr x = - 1 - {\log _3}2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = \left\{ {2; - 1 - {{\log }_3}2} \right\}\) d) Điều kiện: \(x > 0\); Lấy logarit cơ số x hai vế ta được: \(\eqalign{ & 6 + \left( { - {{\log }_x}5} \right).{\log _x}5 = - 5{\log _x}5 \cr & \Leftrightarrow \log _x^25 - 5{\log _x}5 - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _x}5 = - 1 \hfill \cr {\log _x}5 = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 5 = {x^{ - 1}} \hfill \cr 5 = {x^6} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {1 \over 5} \hfill \cr x = \root 6 \of 5 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = \left\{ {{1 \over 5};\root 6 \of 5 } \right\}\) Bài 71 trang 125 SGK giải tích 12 nâng cao. Giải các phương trình sau: \(a)\,{2^x} = 3 - x\) \(b)\,{\log _2}x = 3 - x\) Giải a) \(x = 1\) là nghiệm phương trình Với \(x < 1\) ta có \({2^x} < 2 < 3 - x\) nên phương trình không có nghiệm \(x < 1\) Tương tự với \(x > 1\) ta có \({2^x} > 2 > 3 - x\) nên phương trình không có nghiệm \(x > 1\). Vậy \(S = \left\{ 1 \right\}\) b) Điệu kiện: \(x > 0\). Rõ ràng \(x = 2\) là nghiệm phương trình Với \(x > 2\) thì \({\log _2}x > 1 > 3 - x\) nên phương trình không có nghiệm \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\) Với \(x<2\) thì \({\log _2}x < 1 < 3 - x\) nên phương trình không có nghiệm \(x \in \left( {- \infty;2 } \right)\) Vậy \(S = \left\{ 2 \right\}\)
