Bài 5 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: \(a)\,f\left( x \right) = {{9{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}\) \(b)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {5x + 4} }}\) \(c)\,f\left( x \right) = x\root 4 \of {1 - {x^2}} \) \(d)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\) Giải a) Đặt \(u = \sqrt {1 - {x^3}} \Rightarrow {u^2} = 1 - {x^3} \Rightarrow 2udu = - 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = - {2 \over 3}udu\) Ta có: \(\int {{{9{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx} = \int {{{9.{-2 \over 3}udu} \over u} = - 6\int {du = - 6u + C = - 6\sqrt {1 - {x^3}} + C} } \) b) Đặt \(u = \sqrt {5x + 4} \Rightarrow {u^2} = 5x + 4 \Rightarrow 2udu = 5dx \Rightarrow dx = {{2u.du} \over 5}\) Do đó: \(\int {{{dx} \over {\sqrt {5x + 4} }}} = \int {{{2udu} \over {5u}} = {2 \over 5}u + C = {2 \over 5}\sqrt {5x + 4} + C} \) c) Đặt \(u = \root 4 \of {1 - {x^2}} \Rightarrow {u^4} = 1 - {x^2} \Rightarrow 4{u^3}du = - 2xdx \Rightarrow xdx = - 2{u^3}du\) Do đó: \(\int {x\root 4 \of {1 - {x^2}} dx = \int { - 2{u^4}du} = -{{2{u^5}} \over 5} + C = - {2 \over 5}\root 4 \of {\left( {1 - {x^2}} \right)5\,} + C} \) d) Đặt \(u = 1 + \sqrt x \Rightarrow du = {{du} \over {2\sqrt x }} \Rightarrow {{dx} \over {\sqrt x }} = 2du\) \(\,\,\, \Rightarrow \int {{{dx} \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}} = \int {{{2u} \over {{u^2}}}} = - {2 \over u} + C = - {2 \over {1 + \sqrt x }} + C.\) Bài 6 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Dùng phương pháp lấy số nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = x\sin x{x \over 2};\) b) \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x;\) c), \(f\left( x \right) = x{e^x};\) d), \(f\left( x \right) = {x^3}\ln x\) Giải a) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \sin {x \over 2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = - 2\cos {x \over 2} \hfill \cr} \right.\) Do đó \(\int {x\sin x{x \over 2}dx} = - 2x\cos {x \over 2} + 2\int {\cos {x \over 2}dx = - 2x\cos {x \over 2} + 4\sin {x \over 2} + C} \) b) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\) Do đó \(\int {{x^2}} \cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 2\int {x\sin xdx\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)} \) Tính \(\int {x\sin xdx} \) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = - \cos x \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow \int {x\sin xdx = - x\cos x + \int {\cos xdx = - x\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + } } \,C\) Thay vào (1) ta được: \(\int {{x^2}\cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2x\cos x - 2\sin x + C} \) c) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.\) Do đó \(\int {x{e^x}dx = x{e^x} - \int {{e^x}dx} = x{e^x} - {e^x}} + C\) d) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = \ln x \hfill \cr dv = {x^3}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {1 \over x}dx \hfill \cr v = {{{x^4}} \over 4} \hfill \cr} \right.\) Do đó \(\int {{x^3}\ln xdx = {1 \over 4}{x^4}\ln x} - {1 \over 4}\int {{x^3}dx} = {1 \over 4}x^4\ln x - {{{x^4}} \over {16}} + C\) Bài 7 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = 3x\sqrt {7 - 3{x^2}} ;\) b), \(f\left( x \right) = \cos \left( {3x + 4} \right);\) c) \(f\left( x \right) = - {1 \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}};\) d) \(f\left( x \right) = {\sin ^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}.\) Giải a) Đặt \(u = \sqrt {7 - 3{x^2}} \Rightarrow {u^2} = 7 - 3{x^2} \Rightarrow 2udu = - 6xdx \Rightarrow 3xdx = - udu\) Do đó \(\int {3x\sqrt {7 - 3{x^2}} dx = - \int {{u^2}du = - {{{u^3}} \over 3} + C} = - {1 \over 3}\sqrt {{{\left( {7 - 3{x^2}} \right)}^3}} + C} \) b) \(\int {\cos \left( {3x + 4} \right)dx = {1 \over 3}\sin \left( {3x + 4} \right) + C} \) c) \(\int {{{dx} \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}} = {1 \over 3}\tan \left( {3x + 2} \right) + C} \) d) Đặt \(u = \sin {x \over 3} \Rightarrow du = {1 \over 3}\cos {x \over 3}dx \Rightarrow \cos {x \over 3}dx = 3du\) Do đó \(\int {{{\sin }^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}dx = 3\int {{u^5}du = {{{u^6}} \over 2} + C = {1 \over 2}{{\sin }^6}\left( {{x \over 3}} \right) + C.} } \) Bài 8 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right);\) b) \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{1 \over x}\cos {1 \over x};\) c) \(f\left( x \right) = {x^3}{e^x};\) d) \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {3x - 9} }}.\) Giải a) Đặt \(u = {{{x^3}} \over {18}} - 1 \Rightarrow du = {1 \over 6}{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = 6du\) Do đó \(\int {{x^2}{{\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)}^5}dx = \int {6{u^5}du = {u^6}} } + C = {\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)^6} + C\) b) Đăt \(u = \sin {1 \over x} \Rightarrow du = - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over 2}dx \Rightarrow {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx = - du\) \( \Rightarrow \int {{1 \over {{x^2}}}\sin {1 \over x}\cos {1 \over x}dx = - \int {udu = - {{{u^2}} \over 2} + C = - {1 \over 2}{{\sin }^2}\left( {{1 \over x}} \right) + C} } \) c) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = {x^3} \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 3{x^2}dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right. \Rightarrow I = \int {{x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} - 3\int {{x^2}{e^x}dx\,\,\left( 1 \right)} } \) Tính \({I_1} = \int {{x^2}} {e^x}dx\) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right. \Rightarrow {I_1} = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx\,\,\,\,\left( 2 \right)} \) Tính \({I_2} = \int {x{e^x}dx} \) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right. \Rightarrow {I_2} = x{e^x} - \int {{e^x}dx = {e^x}\left( {x - 1} \right) + C} \) Thay \({I_2}\) vào (2) ta được: \({I_1} = {x^2}{e^x} - 2{e^x}\left( {x - 1} \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + C\) Thay \({I_1}\) vào (1) ta được : \(I = {x^3}{e^x} - 3{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = {e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right) + C\) d) Đặt \(u = \sqrt {3x - 9} \Rightarrow {u^2} = 3x - 9 \Rightarrow 2udu = 3dx \Rightarrow dx = {{2udu} \over 3}\) Do đó \(\int {{e^{\sqrt {3x - 9} }}dx = {2 \over 3}\int {u{e^u}du = {2 \over 3}{e^u}\left( {u - 1} \right) + C} } \) (bài 6c) \( = {2 \over 3}{e^{\sqrt {3x - 9} }}\left( {\sqrt {3x - 9} - 1} \right) + C\) Bài 9 Trang 146 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = {x^2}\cos 2x;\) b) \(f\left( x \right) = \sqrt x \ln x;\) c) \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x\cos x;\) d) \(f\left( x \right) = x\cos \left( {{x^2}} \right);\) Giải a) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\) Do đó \(\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x} - \int {x\sin 2xdx\,\,\,\left( 1 \right)} \) Tính \(\int {x\sin 2xdx} \) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = - {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow \int {x\sin 2xdx = - {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 2}\int {\cos 2xdx = - {1 \over 2}x\cos 2x - {1 \over 4}\sin 2x + C} } \) Thay vào (1) ta được \(\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x + {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 4}\sin 2x + C} \) b) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = \ln x \hfill \cr dv = \sqrt x dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {{dx} \over x} \hfill \cr v = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow \int {\sqrt x } \ln xdx = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x - {2 \over 3}\int {{x^{{1 \over 2}}}dx} \) \( = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x - {2 \over 3}.{2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + C = {2 \over 3}\sqrt {{x^3}} \ln x - {4 \over 9}\sqrt {{x^3}} + C\) c) Đặt \(u = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow du = \cos xdx\) \( \Rightarrow \int {{{\sin }^4}x\cos xdx = } \int {{u^4}du = {{{u^5}} \over 5} + C = {1 \over 5}{{\sin }^5}x} + C.\) d) Đặt \(u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = {1 \over 2}du\) \( \Rightarrow \int {x\cos \left( {{x^2}} \right)dx = {1 \over 2}\int {\cos udu = {1 \over 2}\sin u + C = {1 \over 2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}^2} + C.} } \)
