Giải tích 12 nâng cao - Chương 3 - Bài 3. Tích phân

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 10 Trang 152 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Không tìm nguyên hàm hãy tính các tích phân sau:
    a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {{x \over 2} + 3} \right)dx} ;\) \(b)\,\int\limits_{ - 1}^2 {\left| x \right|} dx\)
    c) \(\int\limits_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx\)
    Hướng dẫn: Áp dụng định lí 1.
    Giải
    a) Tích phân đó bằng diện tích hình thang ABCD với cạnh nghiêng là đường thẳng \(y = {x \over 2} + 3.\) Diện tích đó là \(\left( {2 + 5} \right){6 \over 2} = 21.\) vậy \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {{x \over 2} + 3} \right)dx = 21} .\)
    [​IMG]
    b)
    [​IMG]
    Từ hình trên ta thấy hình A gồm 2 tam giác. Do đó tích phân bằng diện tích của A và là \({1 \over 2}.1.1 + {1 \over 2}2.2 = 0,5 + 2 = 2,5\)
    Vậy \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| x \right|} dx = {5 \over 2}\).
    c) Tích phân bằng diện tích nửa đường tròn \({x^2} + {y^2} = 9\)(hình). Đây là đường tròn tâm là gốc tọa độ bán kính là 3. Do đó diện tích nửa dường tròn là \(9{\pi \over 2} = 4,5\pi .\)
    Vậy \(\int\limits_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx = 4,5\pi \)
    [​IMG]



    Bài 11 Trang 152 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Cho biết \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = - 4,} \) \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx = 6,} \) \(\int\limits_1^5 {g\left( x \right)} dx = 8.\) hãy tính
    Giải
    a) \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} = \int\limits_2^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^5 {f\left( x \right)} = - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^5 {f\left( x \right)} dx = 4 + 6 = 10\)
    b) \(\int\limits_1^2 {3f\left( x \right)} dx = 3\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 3\left( { - 4} \right) = - 12\)
    c) \(\int\limits_1^5 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^5 {g\left( x \right)} dx = 6 - 8 = - 2\)
    d) \(\int\limits_1^5 {\left[ {4f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx = 4\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^5 {g\left( x \right)dx = 4.6 - 8 = 16.} \)




    Bài 12 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Cho biết \(\int\limits_0^3 {f\left( z \right)dz} = 3,\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} dx = 7.\) Hãy tính \(\int\limits_3^4 {f\left( t \right)dt.} \)
    Giải
    Ta có \(\int\limits_3^4 {f\left( t \right)dt = \int\limits_3^0 {f\left( t \right)} } dt + \int\limits_0^4 {f\left( t \right)} dt = - \int\limits_0^3 {f\left( t \right)} dt + \int\limits_0^4 {f\left( t \right)} dt = - 3 + 7 = 4\)




    Bài 13 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    a) Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge 0\)trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.} \)
    b) Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} .\)
    Giải
    a) Ta có \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b,\) do đó \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.} \)
    b) Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {a;b} \right].\)
    Theo a) ta có: \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \ge 0 \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \ge 0 \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx.\)



    Bài 14 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    a) Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = 1 - 2\sin 2t\,\,\left( {m/s} \right)\). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t = 0\) (s) đến thời điểm \(t = {{3\pi } \over 4}\,\left( s \right)\).
    b) Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc \(v\left( t \right) = 160 - 10t\,\left( {m/s} \right)\). Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm t=0 đến thời điểm mà vật dừng lại.
    Giải.
    a) Quãng đường vật di chuyển trong thời gian từ \(t=0\) (s) đến \(t = {{3\pi } \over 4}\left( s \right)\) là: \(S = \int\limits_0^{{{3\pi } \over 4}} {\left( {1 - 2\sin 2t} \right)dt} = \left( {t + \cos 2t} \right)\mathop |\nolimits_0^{{{3\pi } \over 4}} = {{3\pi } \over 4} - 1\left( m \right)\)
    b) Gọi \({t_0}\) là thời điểm vật dừng lại, khi đó:
    \(v\left( {{t_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 160 - 10{t_0} = 0 \Leftrightarrow {t_0} = 16.\)
    Quãng đường vật di chuyển từ \(t=0\) đến \(t=16\) là
    \(S = \int\limits_0^{16} {\left( {160t - 10t} \right)dt = \left( {160t - 5{t^2}} \right)\mathop |\nolimits_0^6 } = 1280.\)



    Bài 15 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc \(a = 3t + {t^2}\,\left( {m/{s^2}} \right)\). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tang tốc.
    Giải
    Gọi v(t) là vận tốc của vật. ta có : \(v'\left( t \right) = a\left( t \right) = 3t + {t^2}\)
    Suy ra \(v\left( t \right) = {{3{t^2}} \over 2} + {{{t^3}} \over 3} + C.\) vì \(v(0)=10\) nên suy ra \(C=10\)
    Vậy \(v\left( t \right) = {{3{t^2}} \over 2} + {{{t^3}} \over 3} + 10\)
    Quãng đường vật đi được là:
    \(S = \int\limits_0^{10} {\left( {{{3{t^2}} \over 2} + {{{t^3}} \over 3} + 10} \right)dt} = \left. {\left( {{{{t^3}} \over 2} + {{{t^4}} \over {12}} + 10t} \right)} \right|_0^{10} = {{4300} \over 3}\left( m \right).\)




    Bài 16 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.
    Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25 m/s. gia tốc trọng trường là \(9,8\,m/{s^2}\).
    a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới vận tốc cao nhất.
    b) Tính quãng đường viên đạn đi được tính từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất.
    Giải
    a) Gọi v(t) là vận tốc của viên đạn. ta có
    Suy ra \(v\left( t \right) = - 9,8t + C.\) vì \(v(0)=25\) nên suy ra \(C=25\)
    Vậy \(v\left( t \right) = - 9,8t + 25.\)
    Gọi T là thời điểm viên đạn đạt tốc độ cao nhất. tại đó vận tốc viên đạn có vận tốc bằng 0. Vậy \(v(T)=0\) suy ra \(T = {{25} \over {9,8}} \approx 2,55\,\) (giây).
    b) Quãng đường viên đi được cho tới thời điểm \(T=2,55\) (giây) là:
    \(S = \int\limits_0^T {\left( { - 9,8t + 25} \right)dt} = - 9,8{{{T^2}} \over 2} + 25T \approx 31,89\,\left( m \right)\)
    Vậy quãng đường viên đạn đi được cho đến khi rơi là xuống đất là \(2S = 63,78\left( m \right).\)