Bài 26 trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0\) và \(x = {{7\pi } \over 6}\) Giải Vì \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1 \ge 0\) với mọi \(x\) nên \(S = \int\limits_0^{{{7\pi } \over 6}} {\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1} \right)} dx = \left. {\left( { - \cos x + x} \right)} \right|_0^{{{7\pi } \over 6}} = {{7\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2} + 1\) Bài 27 Trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số \(y = {\cos ^2}x,\) trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = \pi ;\) b) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \root 3 \of x ;\) c) Đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} - 2{x^2}\) trong miền \(x \ge 0.\) Giải a) \(S = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx = {1 \over 2}} \int\limits_0^\pi {\left( {1 + \cos 2x} \right)} dx = \left. {{1 \over 2}\left( {x + {1 \over 2}\sin 2x} \right)} \right|_0^\pi = {\pi \over 2}\) b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \(\sqrt x = \root 3 \of x \Leftrightarrow x = 0;x = 1\) Trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thì \(\root 3 \of x \ge \sqrt x \) nên: \(S = \int\limits_0^1 {\left( {\root 3 \of x - \sqrt x } \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left( {{x^{{1 \over 3}}} - {x^{{1 \over 2}}}} \right)} dx = \left. {\left( {{3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} - {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}} \right)} \right|_0^1 = {3 \over 4} - {2 \over 3} = {1 \over {12}}\) c)Trong miền \(x \ge 0\) hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm phương trình: \(\left\{ \matrix{ x \ge 0 \hfill \cr {x^4} - 2{x^2} = 2{x^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 0 \hfill \cr {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.\) Ta có: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 2{x^2}} \right|} dx = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}\left( {{x^2} - 4} \right)} \right|} dx = \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)} dx\) \( = \left. {\left( {4{{{x^3}} \over 3} - {{{x^5}} \over 5}} \right)} \right|_0^2 = {{64} \over {15}}\) Bài 28 Trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 4\), \(y = - {x^2} - 2x\) và đường thẳng \(x = - 3,x = - 2;\) b) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = - {x^2} - 2x\) c) Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 4x\), trục hoành, đường thẳng x=-2 và đường thẳng x=4 Giải a) Ta có \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left| {{x^2} - 4 - \left( { - {x^2} - 2x} \right)} \right|} dx = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)} dx\) \( = 2\int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left( {{x^2} + x - 2} \right)} dx\) vì \(({x^2} + x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 2\) hoặc \(x \ge 1)\) \( = 2\left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - 2x} \right)} \right|_{ - 3}^{ - 2} = {{11} \over 3}\) b)Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \({x^2} - 4 = - {x^2} - 2x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr x = 1 \hfill \cr} \right.\) Do đó \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} - 4 - \left( { - {x^2} - 2x} \right)} \right|} dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2{x^2} + 2x - 4} \right|} dx\) \( = - \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)} dx\) ( vì \( - 2 \le x \le 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 4 \le 0\)) \( = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( { - 2{x^2} - 2x + 4} \right)} dx = \left. {\left( { - {{2{x^3}} \over 3} - {x^2} + 4x} \right)} \right|_{ - 2}^1 = 9\) c) \(S = \int\limits_{ - 2}^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} dx = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 4x} \right)} dx - \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - 4x} \right)} dx + \int\limits_2^4 {\left( {{x^3} - 4x} \right)} dx = 44\)
