Giải tích 12 nâng cao - Chương 4 - Bài 1. Số phức

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 189 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    Cho các số phức
    \(2 + 3i; 1 + 2i; 2 – i\)
    a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.
    b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.
    c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.
    Giải
    a) Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức \(1 + 2i;2 + 3i; 2 – i\)
    [​IMG]
    b) Số phức liên hợp của \(2 + 3i\) là: \(2-3i\)
    Số phức liên hợp của \(1 + 2i\) là: \(1-2i\)
    Số phức liên hợp của \(2 -i\) là: \(2+i\)
    Các điểm M, N, P lần lượt biểu diễn các số phức: \(2-3i\), \(1-2i\), \(2+i\)
    [​IMG]
    c) Các số đối của \(2 + 3i; 1 + 2i\) và \(2 – i\) lần lượt là: \(-2 – 3i; -1 – 2i\) và \(-2 + i\) được biểu diễn bởi các điểm: P, Q, R.
    [​IMG]



    Bài 2 trang 189 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    Xác định phần thực và phần thực của các số sau:
    a) \(i + \left( {2 - 4i} \right) - \left( {3 - 2i} \right)\);
    b) \({\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}\)
    c) \(\left( {2 + 3i} \right)\left( {2 - 3i} \right)\);
    d) \(i\left( {2 - i} \right)\left( {3 + i} \right)\).
    Giải
    a) Ta có \(i + \left( {2 - 4i} \right) - \left( {3 - 2i} \right) = i + 2 - 4i - 3 + 2i = - 1 - i\) có phần thực bằng \(-1\); phần ảo bằng \(-1\).
    b) \({\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2} = 2 + 6\sqrt 2i + 9{i^2} = - 7 + 6{\sqrt 2} i\) có phần thực bằng \(-7\), phần ảo bằng \(6\sqrt 2 \).
    c) \(\left( {2 + 3i} \right)\left( {2 - 3i} \right) = 4 - 9{i^2} = 4 + 9 = 13\) có phần thực bằng \(13\), phần ảo bằng \(0\).
    d) \(i\left( {2 - i} \right)\left( {3 + i} \right) = \left( {2i + 1} \right)\left( {3 + i} \right) = 6i + 2{i^2} + 3 + i = 1 + 7i\) có phần thực bằng \(1\), phần ảo bằng \(7\).



    Bài 3 trang 189 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ \(O\) trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
    Giải
    Điểm A biểu diễn số \(i\).
    F có tọa độ \(\left( {\cos {\pi \over 6};\sin {\pi \over 6}} \right) = \left( {{{\sqrt 3 } \over 2};{1 \over 2}} \right)\) nên F biểu diễn số phức \({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}i.\)
    E đối xứng với F qua \(Ox\) nên E biểu diễn số phức \({{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}i.\)
    B đối xứng với E qua O nên B biểu diễn số \( - {{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}i.\)
    C đối xứng với F qua O nên C biểu diễn số phức \( - {{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}i.\)
    D đối xứng với A qua O nên D biểu diễn số phức \(–i\).



    Bài 4 trang 189 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    Thực hiện phép tính: \({1 \over {2 - 3i}}\); \({1 \over {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i}}\); \({{3 - 2i} \over i}\); \({{3 - 4i} \over {4 - i}}\)
    Giải
    \({1 \over {2 - 3i}} = {{2 + 3i} \over {4 - 9{i^2}}} = {2 \over {13}} + {3 \over {13}}i\)
    \({1 \over {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i}} = {{{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \over {{1 \over 4} - {{\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)}^2}}} = {{{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \over 1} = {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i\)
    \({{3 - 2i} \over i} = {{i\left( {3 - 2i} \right)} \over {{i^2}}} = - i\left( {3 - 2i} \right) = - 3i + 2{i^2} = - 2 - 3i\)
    \({{3 - 4i} \over {4 - i}} = {{\left( {3 - 4i} \right)\left( {4 + i} \right)} \over {17}} = {{16 - 13i} \over {17}} = {{16} \over {17}} - {{13} \over {17}}i.\)



    Bài 5 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    Cho \(z = - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i.\)
    Hãy tính \({1 \over z}\); \(\overline z \); \({z^2}\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1 + z + {z^2}\).
    Giải
    Ta có \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2}} = 1\)
    Nên \({1 \over z} = {{\overline z } \over {{{\left| z \right|}^2}}} = \overline z = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i\)
    \({z^2} = {\left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2} = {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 2}i - {3 \over 4} = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i\)
    \({\left( {\overline z } \right)^3} = \overline z .{\left( {\overline z } \right)^2} = \left( { - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right).{\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\)
    \( = \left( { - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right).\left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) = {\left( { - {1 \over 2}} \right)^2} - {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2} = {1 \over 4} + {3 \over 4} = 1\)
    \(1 + z + {z^2} = 1 + \left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) + \left( { - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) = 0\)



    Bài 6 trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao. Chứng minh rằng:
    a) Phần thực của số phức z bằng \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\), phần ảo của số phức z bằng \({1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right);\)
    b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z = - \overline z ;\)
    c) Với mọi số phức z, z', ta có \(\overline {z + z'} = \overline z + \overline {z'} ,\,\overline {zz'} = \overline z .\,\overline {z'} \), và nếu \(z \ne 0\) thì \({{\overline {z'} } \over {\overline z }} = \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} \).
    Giải
    a) Giả sử \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(\overline z = a - bi\)
    Từ đó suy ra \(a = {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right);\,\,b = {1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right)\)
    b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0
    \(\Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow z = - \overline z \)
    c) Giả sử \(z=a+bi;\; z'=a'+b'i\) \((a,b,a',b'\in\mathbb R)\)
    Ta có:
    \(\eqalign{
    & \overline {z + z'} = \overline {(a + a') + (b + b')i} = a + a' - (b + b')i \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a - bi + a' - b'i = \overline z + \overline {z'} \cr
    & \overline {z.z'} = \overline {\left( {a + bi} \right).\left( {a' + b'i} \right)} = \overline {\left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i} \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = aa' - bb' - \left( {ab' + a'b} \right)i \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a - bi} \right)\left( {a' - b'i} \right) = \overline z .\overline {z'} \cr
    & \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} = \overline {\left( {{{z'.\overline z } \over {z.\overline z }}} \right)} = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} .\overline {\overline z } = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} .z = {{\overline {z'} } \over {\overline z }} \cr} \)



    Bài 7 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(m > 0\), ta có:
    \({i^{4m}} = 1\); \({i^{4m + 1}} = i\); \({i^{4m + 2}} = - 1\); \({i^{4m + 3}} = - i\)
    Giải
    Vì \({i^4} = {\left( {{i^2}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\) nên \({i^{4m}} = 1\) với mọi m nguyên dương.
    Từ đó suy ra \({i^{4m + 1}} = {i^{4m}}.i = i\)
    \({i^{4m + 2}} = {i^{4m}}.{i^2} = - 1\)
    \({i^{4m + 3}} = {i^{4m}}.{i^3} = - i\)



    Bài 8 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng:
    a)) Nếu vec tơ \(\overrightarrow u \) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\), và từ đó nếu các điểm \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|;\)
    b) Với mọi số phức z, z', ta có \(\left| {zz'} \right| = \left| z \right|\left| {z'} \right|\) và khi \(z \ne 0\) thì \(\left| {{{z'} \over z}} \right| = {{|z'|} \over {|z|}};\)
    c) Với mọi số phức z, z', ta có \(|z + z'| \le |z| + |z'|.\)
    Giải
    a) Nếu \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
    \(\overrightarrow u \) biểu diễn số phức z thì \(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\) và \(|\overrightarrow u | = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) do đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\).
    Nếu \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {O{A_1}} \) biểu diễn \({z_2} - {z_1}\) nên \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|.\)
    b) \(z=a+bi;\;z'=a'+b'i\) thì \(|z{|^2} = {a^2} + {b^2};|z'{|^2} = a{'^2} + b{'^2}\) và \(z.z' = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i\) nên
    \(\eqalign{
    & |z.z'{|^2} = {(aa' - bb')^2} + {(ab' + a'b)^2} = {(aa')^2} + {(bb')^2} + {(ab')^2} + {(a'b)^2} \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ({a^2} + {b^2})(a{'^2} + b{'^2}) = |z{|^2}.|z'{|^2} \cr
    & \Rightarrow |zz'| = |z|.|z'| \cr} \)
    Khi \(z \ne 0\) ta có:
    \(\left| {{{z'} \over z}} \right| = \left| {{{z'\overline z } \over {|z{|^2}}}} \right| = {1 \over {|z{|^2}}}|z'.\overline z | = {1 \over {|z{|^2}}}.\left| {z'} \right|.\left| {\overline z } \right| = {1 \over {|z{|^2}}}.|z'|.|z| = {{|z'|} \over {|z|}}\)
    c) Giả sử \(\overrightarrow u \) biểu diễn z và \(\overrightarrow {u'} \) biểu diễn z' thì \(\overrightarrow u+\overrightarrow {u'} \) biểu diễn z+z'. Ta có:
    \(\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z + z'} \right|;\,\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|;\,\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z'} \right|\)
    Mà \(\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right|\) nên \(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)
    Dấu "=" xảy ra khi \(z=0\) hoặc \(z'=0\).



    Bài 9 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:
    a) \(\left| {z - i} \right| = 1\) b) \(\left| {{{z - i} \over {z + i}}} \right| = 1\)
    c) \(\left| z \right| = \left| {\overline z - 3 + 4i} \right|\)
    Giải
    a) Giả sử khi đó \(z - i = x + \left( {y - 1} \right)i\) và \(\left| {z - i} \right| = 1\)
    \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).
    Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( {0,1} \right)\) bán kính \(1\).
    b) Giả sử
    Ta có:\(\left| {{{z - i} \over {z + i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z - i} \right| = \left| {z + i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right|\)
    \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow \) z là số thực.
    Tập hợp M là trục thực \(Ox\).
    c)
    \(\left| z \right| = \left| {\overline z - 3 + 4i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {x - yi - 3 + 4i} \right|\)
    \( \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {\left( {x - 3} \right) + \left( {4 - y} \right)i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2}\)
    \( \Leftrightarrow 6x + 8y = 25\)
    Tập hợp M là đường thẳng có phương trình: \(6x + 8y = 25\)



    Bài 10 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    Chứng minh rằng với mọi số phức \(z \ne 1\), ta có: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = {{{z^{10}} - 1} \over {z - 1}}\).
    Giải
    Ta có: \(\left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right)\left( {z - 1} \right) = z + {z^2} + ... + {z^{10}} - \left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right) = {z^{10}} - 1\)
    Vì \(z \ne 1\) nên chia hai vế cho \(z - 1\) ta được: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = {{{z^{10}} - 1} \over {z - 1}}\)



    Bài 11 trang 191 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?
    \({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\); \({{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\); \({{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\)
    Giải
    * Ta có \(\overline {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}} = \overline {{z^2}} + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^2}} = {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}\)
    \( \Rightarrow {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\) là số thực.
    Cách khác: Gọi \(z=a+bi\)
    Ta có: \({z^2} + {\overline z ^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} = 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\) là số thực
    * \(\overline {\left( {{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}} \right)} = {{\overline z - z} \over {{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {z^3}}} = - {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) \(\Rightarrow {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) là số ảo.
    * \(\overline {\left( {{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right)} = {{{({\overline z })^2} - {z^2}} \over {1 + \overline z z}} = - {{{z^2}-{({\overline z })^2}} \over {1 + \overline z .z}} \Rightarrow {{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\) là số ảo.



    Bài 12 trang 191 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:
    a) \(z^2\) là số thực âm;
    b \(z^2\) là là số ảo;
    c) \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}\);
    d) \({1 \over {z - i}}\) là số ảo.
    Giải
    Giả sử \(z=x+yi\)
    a) \({z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)
    \(z^2\) là số thực âm\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ xy = 0 \hfill \cr {x^2} - {y^2} < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y \ne 0 \hfill \cr} \right.\)
    Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục \(Oy\) trừ điểm \(O\).
    b) \({z^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)
    \(z^2\) là số ảo \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\) hoặc \(y = -x\)
    Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hai đường phân giác của các gốc tọa độ.
    c)
    Ta có \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi ={x^2} - {y^2} - 2xyi\Leftrightarrow xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr} \right.\)
    Vậy tập hợp các điểm cần tìm là các trục tọa độ.
    d) \({1 \over {z - i}}\) là số ảo \( \Leftrightarrow z - i\) là số ảo và \(z \ne i \Leftrightarrow z\) là số ảo khác i.
    Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm \(I(0; 1)\) biểu diễn số \(i\).



    Bài 13 trang 191 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    Giải các phương trình sau (với ẩn z)
    a) \(iz + 2 - i = 0\);
    b) \(\left( {2 + 3i} \right)z = z - 1\);
    c) \(\left( {2 - i} \right)\overline z - 4 = 0\);
    d) \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\overline z - 2 + 3i} \right) = 0\);
    e) \({z^2} + 4 = 0\);
    Giải
    a) \(iz + 2 - i = 0 \Leftrightarrow iz = i - 2 \Leftrightarrow z = {{ - 2 + i} \over i} = {{\left( { - 2 + i} \right)i} \over { - 1}} \Leftrightarrow z = 1 + 2i\)
    b) \(\left( {2 + 3i} \right)z = z - 1 \Leftrightarrow \left( {1 + 3i} \right)z = - 1\)
    \( \Leftrightarrow z = {{ - 1} \over {1 + 3i}} = {{ - 1 + 3i} \over {\left( {1 + 3i} \right)\left( {1 - 3i} \right)}} = {{ - 1 + 3i} \over {10}} = - {1 \over {10}} + {3 \over {10}}i\)
    c) \(\left( {2 - i} \right)\overline z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 4 \Leftrightarrow z = {4 \over {2 + i}} = {{4\left( {2 - i} \right)} \over 5} \Leftrightarrow z = {8 \over 5} - {4 \over 5}i\)
    d) \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\overline z - 2 + 3i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ iz - 1 = 0 \hfill \cr z + 3i = 0 \hfill \cr \overline z - 2 + 3i = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = {1 \over i} = - i \hfill \cr z = - 3i \hfill \cr z = 2 + 3i \hfill \cr} \right.\)
    Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ { - i, - 3i,2 + 3i} \right\}\)
    e) \({z^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 4{i^2}=0 \Leftrightarrow \left( {z - 2i} \right)\left( {z + 2i} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 2i\text{ hoặc } z = - 2i\).
    Vậy \(S = \left\{ {2i, - 2i} \right\}\)



    Bài 14 trang 191 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    a) Cho số phức \(z=x+yi\) . Khi \(z \ne i\), hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \({{z + i} \over {z - i}}\)
    b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \({{z + i} \over {z - i}}\) là số thực dương.
    Giải
    a) Ta có:
    \({{z + i} \over {z - i}} = {{x + \left( {y + 1} \right)i} \over {x + \left( {y - 1} \right)i}} = {{\left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + {{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)
    Vậy phần thực là \({{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\), phần ảo là \({{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\).
    b) Với \(z \ne i\), \({{z + i} \over {z - i}}\) là số thực dương khi và chỉ khi
    \(\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 1 > 0 \hfill \cr} \right.\)
    \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x = 0 \hfill \cr
    {y^2} > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x = 0 \hfill \cr
    \left[ \matrix{
    y > 1 \hfill \cr
    y < - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
    Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối \(I, J\) ( \(I\) biểu diễn \(i\) và \(J\) biểu diễn \(-i\)).



    Bài 15 trang 191 SGK Giải tích 12 Nâng cao.
    a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\). Hỏi trọng tâm của tam giác \(ABC\) biểu diễn số phức nào?
    b) Xét ba điểm \(A, B, C\)) của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\).
    Chứng minh rằng \(A, B, C\) là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi \({z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\)
    Giải
    a) Trong mặt phẳng phức gốc \(O, G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi
    \(\overrightarrow {OG} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\).
    Vậy \(G\) biểu diễn số phức \({1 \over 3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\) vì \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OB} \),\(\overrightarrow {OC} \) theo thứ tự biểu diễn \({z_1},{z_2},{z_3}\).
    b) Ba điểm \(A, B, C\) thuộc đường tròn tâm tại gốc tọa độ \(O\) nên tam giác \(ABC\) là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm \(G\) của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức là \(G \equiv O\) hay \({z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\)



    Bài 16 trang 191 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức \(z'\ne0\) và B' biểu diễn số phức zz'.
    Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?
    Giải
    Do z không phải là số thực nên các điểm O, A, B theo thứ tự biểu diễn các số 0, 1, z là các đỉnh của một tam giác. Với \(z'\ne 0\), xét các điểm A', B' theo thứ tự biểu diễn các số z', zz' thì ta có:
    \({{OA'} \over {OA}} = {{|z'|} \over 1} = |z'|;\,\,{{OB'} \over {OB}} = {{|zz'|} \over {|z|}} = |z'|,{{A'B'} \over {AB}} = {{|zz' - z'|} \over {|z - 1|}} = |z'|\)
    Vậy tam giác OA'B' đồng dạng với tam giác OAB (tỉ số đồng dạng bằng |z'|).