1. Kiến thức cần nhớ - Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) (hữu hạn hoặc vô hạn) là cấp số nhân \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = q.{u_n},\forall n \ge 1,n \in {N^*}\) Ở đó, \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân. - Tính chất: +) \(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}},\forall k \ge 2\) +) Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\). +) Tổng \(n\) số hạng đầu: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\). +) Khi \(q = 0\) thì dãy là \({u_1};0;0;...;0;...\) và \({S_n} = {u_1}\) +) Khi \(q = 1\) thì dãy có đạng \({u_1};{u_1};{u_1};...;{u_1};...\)và \({S_n} = n.{u_1}\) +) Khi \({u_1} = 0\) thì với mọi \(q\), cấp số nhân có dạng \(0;0;0;...;0;...\)và \({S_n} = 0\) 2. Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Nhận biết cấp số nhân Phương pháp: - Bước 1: Tính \(q = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}},\forall n \ge 1\). - Bước 2: Kết luận: + Nếu \(q\) là số không đổi thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân. + Nếu \(q\) thay đổi theo \(n\) thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số nhân. Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân. Phương pháp: Sử dụng các tính chất của cấp số nhân, biến đổi để tính công bội của cấp số nhân. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân. Phương pháp: Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\) Dạng 4: Tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy. Phương pháp: Sử dụng công thức \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\) Dạng 5: Tìm cấp số nhân Phương pháp chung: - Tìm các yếu tố xác định một cấp số nhân như: số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\). - Tìm công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).
