1. Giới hạn của hàm số tại một điểm Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \({x_0}\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\). Nhận xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\) với \(c\) là hằng số. Định lý: Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Khi đó: +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\) +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\) +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\) +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}\) với \(M \ne 0\) Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \). 2. Giới hạn một bên Số \(L\) là: + giới hạn bên phải của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\) + giới hạn bên trái của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\) Định lý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\) 3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x \to + \infty \) (hoặc \(x \to - \infty \)) kí hiệu là:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L\)) Với \(c,k\) là hằng số và \(k\) nguyên dương, ta luôn có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\). 4. Giới hạn vô cực của hàm số a) Giới hạn vô cực Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là \( \pm \infty \) khi \(x \to \pm \infty \) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = x = \pm \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty \) b) Một vài giới hạn đặc biệt +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty \) với \(k\) nguyên dương. +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \) nếu \(k\) chẵn và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty \) nếu \(k\) lẻ.
