1. Kiến thức cần nhớ Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\). Khi đó: - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \({x_0}\) là: \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\) - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\) 2. Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số. Cho hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M\). Phương pháp: - Bước 1: Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm hệ số góc của tiếp tuyến \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\). - Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại \(M\): \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\). Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc \(k\) cho trước. Phương pháp: - Bước 1: Gọi \(\left( \Delta \right)\) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc \(k\). - Bước 2: Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm. Khi đó \({x_0}\) thỏa mãn \(f'\left( {{x_0}} \right) = k\). - Bước 3: Giải phương trình trên tìm \({x_0} \Rightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\). - Bước 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\). Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua một điểm. Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) và điểm \(A\left( {a;b} \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến đi qua \(A\). Phương pháp: - Bước 1: Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và có hệ số góc \(k\). Khi đó \(\Delta :y = k\left( {x - a} \right) + b\) - Bước 2: Để \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = k\left( {x - a} \right) + b\\f'\left( x \right) = k\end{array} \right.\) có nghiệm. - Bước 3: Giải hệ phương trình trên tìm \(k\), thay vào ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm. - Hệ số góc của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\). - Cho đường thẳng \(d:y = {k_d}x + a\). +) \(\Delta \bot d \Rightarrow {k_\Delta }.{k_d} = - 1 \Leftrightarrow {k_\Delta } = - \dfrac{1}{{{k_d}}}\) +) \(\Delta //d \Rightarrow {k_\Delta } = {k_d}\) +) \(\left( {\Delta ,d} \right) = \alpha \Rightarrow \tan \alpha = \left| {\dfrac{{{k_\Delta } - {k_d}}}{{1 + {k_\Delta }.{k_d}}}} \right|\) +) \(\left( {\Delta ,Ox} \right) = \alpha \Rightarrow {k_\Delta } = \pm \tan \alpha \)
