Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có cực trị. Phương pháp: - Bước 1: Tính \(y'\). - Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị: + Hàm số có cực trị\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\). + Hàm số không có cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta \le 0\). - Bước 3: Kết luận. Hàm số bậc ba chỉ có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào. Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc bốn trùng phương có cực trị. Phương pháp: - Bước 1: Tính \(y'\). - Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có cực trị: + Hàm số có \(1\) cực trị nếu phương trình \(y' = 0\) có nghiệm duy nhất. + Hàm số có \(3\) cực trị nếu phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt. - Bước 3: Kết luận. Hàm số bậc bốn trùng phương chỉ có thể có \(1\) cực trị hoặc có \(3\) cực trị. + Trường hợp có \(1\) cực trị thì đó là \(x = 0\). + Trường hợp có \(3\) cực trị thì đó là \(x = 0;x = - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;x = \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \) Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số nhận điểm cho trước làm cực trị. Phương pháp: - Bước 1: Tính \(y',y''\). - Bước 2: Nêu điều kiện để \(x = {x_0}\) là cực trị của hàm số: + \(x = {x_0}\) là điểm cực đại nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\) + \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\) - Bước 3: Kết luận. Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp: - Bước 1: Tính \(y'\). - Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện: + Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu\( \Leftrightarrow ac < 0\) + Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\) + Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\) + Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\) + Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\) thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện \({x_1} + {x_2},{x_1}.{x_2}\) rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S\\{x_1}{x_2} = P\end{array} \right.\) và tìm \(m\). Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp: - Bước 1: Tính \(y'\). - Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện: + Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) lập thành một tam giác vuông (vuông cân) \( \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) . + Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác đều \( \Leftrightarrow AB = BC = CA\). + Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) cho trước \( \Leftrightarrow {S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC\) với \(H\) là trung điểm của \(BC\). + Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \) Tìm \(\max {S_0}\) với \({S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC,H\) là trung điểm của \(BC\). + Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \(\alpha \) cho trước \( \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos \alpha \) + Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có ba góc nhọn \( \Leftrightarrow \alpha \) là góc ở đỉnh phải nhọn \( \Leftrightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\) - Bước 3: Kết luận. Dạng 6: Viết phương trình đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba. Phương pháp: - Bước 1: Tính \(y'\). - Bước 2: Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được đa thức dư \(g\left( x \right) = mx + n\). - Bước 3: Kết luận: \(y = mx + n\) là đường thẳng cần tìm.
