1. Hàm số mũ - Hàm số mũ là hàm số dạng \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\). - Giới hạn liên quan \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\). - Đạo hàm: \(y = {a^x} \Rightarrow y' = {a^x}\ln a;y = {a^{u\left( x \right)}} \Rightarrow y' = u'\left( x \right).{a^{u\left( x \right)}}\ln a,x \in R\) (Đặc biệt $\left( {{e^x}} \right)' = {e^x};{e^{u\left( x \right)}} = u'\left( x \right){e^{u\left( x \right)}}$ ) Khảo sát \(y = {a^x}\): - TXĐ: \(D = R\) - Chiều biến thiên: + Nếu \(a > 1\) thì hàm đồng biến trên \(R\). + Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm nghịch biến trên \(R\). - Đồ thị: + Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 0\). + Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;a} \right)\). + Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành vì \({a^x} > 0,\forall x \in R\). + Dáng đồ thị: 2. Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại. Phương pháp: - Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho. - Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận. Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị. Phương pháp: - Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số. + Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn \(1\). + Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn \(0\) và nhỏ hơn \(1\). - Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số. - Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm. Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,… Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số. Phương pháp: - Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho. \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v';\left( {uv} \right)' = u'v + uv';\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) - Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,… - Bước 3: Tính toán và kết luận. Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số. Phương pháp: Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{a^x} - 1}}{x} = \ln a\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)^x} = e\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {x + 1} \right)^{\dfrac{1}{x}}} = e\). Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn. Phương pháp: - Bước 1: Tính \(y'\), tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in \left[ {a;b} \right]\) của phương trình \(y' = 0\). - Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)\). - Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số. + GTNN \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được. + GTLN \(M\) là số lớn nhất trong các giá trị tính được.
