1. Lũy thừa với số mũ nguyên a) Định nghĩa: - Lũy thừa với số mũ nguyên dương \(a \in R:{a^n} = a.a...a\) (n thừa số a). - Lũy thừa với số mũ nguyên âm: \(a \ne 0:{a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}};{a^0} = 1\) - Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: \(a > 0:{a^{\dfrac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\left( {m,n \in Z,n \ge 2} \right)\) b) Tính chất: Cho \(a \ne 0,b \ne 0\) và \(m,n\) là các số nguyên, ta có: 1/ \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\) 2/ \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\) 3/ \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}\) 4/ \({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\) 5/ \({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\) 6/ Với \(a > 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\) 7/ Với \(0 < a < 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\) Hệ quả: 1/ Với \(0 < a < b\) và \(m\) nguyên dương thì \({a^m} < {b^m}\). 2/ Với \(0 < a < b\) và \(m\) nguyên âm thì \({a^m} > {b^m}\) 3/ Với \(a < b,n\) là số tự nhiên lẻ thì \({a^n} < {b^n}\) 4/ Với \(a > 0,b > 0,n\) là số nguyên khác \(0\) thì \({a^n} = {b^n} \Leftrightarrow a = b\). 2. Căn bậc n a) Định nghĩa: Cho số thực \(b\) và số nguyên dương \(n\left( {n \ge 2} \right)\). Số \(a\) được gọi là căn bậc \(n\) của số \(b\) nếu \({a^n} = b\). Từ định nghĩa suy ra: - Với \(n\) lẻ và \(b \in R\) có duy nhất một căn bậc \(n\) của \(b\), kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\). - Với \(n\) chẵn và: + \(b < 0\) thì không tồn tại căn bậc \(n\) của \(b\). + \(b = 0\) thì có một căn bậc \(n\) của \(b\) là \(0\). + \(b > 0\) thì có hai căn trái dấu là \( \pm \sqrt[n]{b}\) - Căn bậc \(1\) của số \(a\) chính là \(a\). - Căn bậc \(n\) của số \(0\) là \(0\). - Nếu \(n\) lẻ thì \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\) ; nếu \(n\) chẵn thì \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi \(n\) chẵn. b) Tính chất: Với \(a \ge 0,b \ge 0,m,n\) nguyên dương, ta có: 1/ \(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\) 2/ \(\sqrt[n]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\left( {b > 0} \right)\) 3/ \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}\left( {a > 0} \right)\) 4/ \(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\) 5/ \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}} (a>0) \)
