1. Kiến thức cần nhớ - Công thức nguyên hàm từng phần: \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \) 2. Bài toán Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( x \right).h\left( x \right)dx} \) Phương pháp: - Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = g\left( x \right)\\dv = h\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = g'\left( x \right)dx\\v = \int {h\left( x \right)dx} \end{array} \right.\) (\(v\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(h\left( x \right)\)) - Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx} = uv - \int {vdu} \) Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln x\). Giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\) Do đó \(\int {\ln xdx} = uv - \int {vdu} = x.\ln x - \int {x.\dfrac{1}{x}dx} = x\ln x - \int {dx} = x\ln x - x + C\) 3. Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Hàm số logarit. Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \) Phương pháp: - Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\) - Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \) Dạng 2: Hàm số mũ. Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \). Phương pháp: - Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\) - Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = uv - \int {vdu} \) Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức. Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \). Phương pháp: - Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) - Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \) Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ. Tính nguyên hàm \(\int {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \). - Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) - Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(uv - \int {vdu} \).
