1. Kiến thức cần nhớ - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\): \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\): \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) 2. Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn Phương pháp: - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) được tính bởi công thức: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\)được tính bởi công thức: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn Phương pháp: - Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm. - Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\) - Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất. A. $3\ln 6$ B. \(3\ln \dfrac{3}{2}\) C. \(3\ln \dfrac{3}{2} - 2\) D.\(3\ln \dfrac{3}{2} - 1\) Giải: Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $\left( {-1;0} \right)$, cắt $Oy$ tại $\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)$. Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ nghịch biến trên $\left( {-1;0} \right)$. Do đó \(y < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) Do đó $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right)} dx = - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)} dx $ $= - \left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|\mathop |\nolimits_{ - 1}^0 } \right) = - 3\ln 2 - 1 + 3\ln 3 = 3\ln \dfrac{3}{2} - 1$ Chọn D.
