1. Kiến thức cần nhớ - Phương trình tham số của đường thẳng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) ở đó \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc dường thẳng và \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là VTCP của đường thẳng. - Phương trình chính tắc của đường thẳng: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\left( {a,b,c \ne 0} \right)\) ở đó \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc dường thẳng và \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là VTCP của đường thẳng. - Đường thẳng \(Ox:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right);\) \(Oy:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right);\) \(Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) - Đường thẳng \(AB\) có \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \overrightarrow {AB} \) - Đường thẳng \({d_1}//{d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) 2. Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Nhận biết các yếu tố trong phương trình đường thẳng. Phương pháp: Sử dụng các lý thuyết về phương trình đường thẳng để tìm điểm đi qua, VTCP,… Dạng 2: Chuyển đổi các dạng phương trình chính tắc và tham số. Phương pháp: - Bước 1: Tìm điểm đi qua và VTCP của đường thẳng trong phương trình đã cho. - Bước 2: Viết phương trình dạng chính tắc, tham số dựa vào hai yếu tố vừa xác định được ở trên. Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) thì có: + Phương trình chính tắc: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\left( {a,b,c \ne 0} \right)\) + Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng. Phương pháp chung: - Bước 1: Tìm điểm đi qua \(A\). - Bước 2: Tìm VTCP \(\overrightarrow u \) của đường thẳng. - Bước 3: Viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng biết hai yếu tố trên. +) Đi qua hai điểm. Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTCP. +) Đi qua một điểm và song song với một đường thẳng. Đường thẳng \(d\) qua \(A\) và song song với \(d'\) thì \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{u_{d'}}} \) +) Đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng. Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) thì \(d\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)
