1. Kiến thức cần nhớ - Phương trình của mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) (1) hoặc \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) (2) Phương trình (2) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \). Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) 2. Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu. Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu: - Mặt cầu có phương trình dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\). - Mặt cầu có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \). Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu. Phương pháp chung: Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát. - Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo các dạng vừa nêu ở trên. Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng khai triển. - Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) - Sử dụng điều kiện bài cho để tìm \(a,b,c,d\). Một số bài toán hay gặp: - Viết phương trình mặt cầu tâm và bán kính đã cho. - Mặt cầu có đường kính \(AB\): tâm là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\). - Mặt cầu đi qua \(4\) điểm \(A,B,C,D\): +) Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) +) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm \(a,b,c,d\). Dạng 3: Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước. - Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu.
