1. Tích có hướng của hai véc tơ - Định nghĩa: Cho các véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là véc tơ \(\overrightarrow u \), kí hiệu \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) và được xác định bởi: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] =\) \( \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right) =\) \( \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)\) Véc tơ \(\overrightarrow u \) vuông góc với cả hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) - Tính chất: +) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right]\) +) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) +) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_1}} ;\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_2}} \) +) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0 \Leftrightarrow \) ba véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} \) đồng phẳng. +) \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)\) 2. Ứng dụng tích có hướng - Diện tích tam giác: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\) - Diện tích hình bình hành: \({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\) - Thể tích tứ diện: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\) - Thể tích khối hộp: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|\)
